Operaciones con fracciones

Operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación y división con fraccionarios. Se explica como proceder con el producto y la división cuando no se tienen signos de agrupación, a partir de tres ejemplos resueltos. En videos anteriores se estudió cómo podíamos sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. A continuación se explica cómo realizar operaciones combinadas, realizando simplificaciones que nos permitan llegar al resultado de una forma más ágil. En el ejemplo a resolver tenemos una resta y una multiplicación de fracciones, pero como no se tienen signos de agrupación, se le da mayor relevancia a la multiplicación (o a la división en caso de que haya). La multiplicación la realizamos de manera sencilla, multiplicando numerador por numerador, y denominador por denominador. Posteriormente debe realizarse la resta, para lo cual podemos trabajar de diferentes maneras como realizarla hallando el MCD, o multiplicando los denominadores y posteriormente realizando el producto en cruz. En este video se explica cómo proceder con las diferentes operaciones combinadas cuando no se tienen signos de agrupación, para lo cual se realizan tres ejemplos.

Fracción como parte de la unidad[editar]

Cuando tenemos una unidad cualquiera, nos puede interesar una parte más pequeña para tomar. Así, si tenemos una tarta para ochos comensales, y estamos cuatro personas, lo normal seria que cada persona tomase dos trozos, expresados así:

${\displaystyle {\frac {8}{8}}:4={\frac {8}{8}}\cdot {\frac {1}{4}}={\frac {8\cdot 1}{8\cdot 4}}={\frac {8}{32}}={\frac {8:4}{32:4}}={\frac {2}{8}}}$

Lo que aquí se expresa es que cada persona cogería dos octavos de tarta, es decir, dos partes de las ocho que hay. Así, la parte de arriba (2) seria el numerador, y la parte de abajo (8), el denominador.

Fracciones equivalentes[editar]

Dos fracciones son equivalentes cuando una de ellas al dividir o multiplicar por un mismo número el númerador y el denominador, se obtiene la otra fracción. No obstante, para saber si dos fracciones son equivalentes, solo hace falta saber si los productos cruzados son iguales:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\longrightarrow a\cdot d=b\cdot c}$

Reducción de fracciones[editar]

Existen situaciones en las que una fracción puede simplificarse dividiendo ambos términos entre un mismo número y resultar ambos valores enteros,

${\displaystyle {\frac {12}{4}}={\frac {12:2}{4:2}}={\frac {6}{2}}}$

La fracción original y la reducida son equivalentes, esto quiere decir tienen el mismo valor, aunque se escriban diferentes. Si una fracción tiene términos que ya no se pueden simplificar más se denomina fracción irreducible.

Reducción a fracción irreducible[editar]

Hallando el Máximo común divisor (M.C.D.) de los dos términos y dividiendo ambos términos por él, se llega a una fracción irreducible.

Ejemplo:

Hallar la fracción irreducible de ${\displaystyle {\frac {12}{4}}}$:

${\displaystyle M.C.D.(12,4)=4}$; dividiendo: ${\displaystyle {\frac {12}{4}}={\frac {12:4}{4:4}}={\frac {3}{1}}}$

Expresión decimal de una fracción[editar]

Es posible expresar una fracción como número decimal dividiendo el numerador entre el denominador:

Ejemplos:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}=1:2=0,5}$

${\displaystyle {\frac {2}{3}}=2:3=0,666...}$

En las fracciones con denominador 10, 100, 1000, 10000... se recorrerá el punto hacia la izquierda tantos lugares como cifras cero haya.

${\displaystyle {\frac {53}{1000}}=0.053}$

${\displaystyle {\frac {4}{10}}=0.4}$

${\displaystyle {\frac {4567}{100}}=45.67}$

Ordenación de los números racionales[editar]

Operaciones con fracciones[editar]

En las fracciones es posible realizar distintas operaciones, a continuación se muestra como pueden realizarse.

Suma de fracciones[editar]

Para sumar dos o más fracciones, nos podemos encontrar con varios casos.

Con el mismo denominador[editar]

Como se muestra, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador:

${\displaystyle {\frac {3}{6}}+{\frac {2}{6}}={\frac {3+2}{6}}={\frac {5}{6}}}$

Con diferente denominador[editar]

Cuando tienen distinto denominador, se reduce a común denominador por medio del minimo común multiplo (m.c.m.) de los denominadores (no olvides convertir también el numerador de ambas fracciones ya que lo tengas), y resolverlas después sumando los numeradores:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}={\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}={\frac {2+3}{6}}={\frac {5}{6}}}$

m.c.m (2,3) = ${\displaystyle 2\cdot 3=6}$

${\displaystyle 6:3=2\cdot 1=2}$

${\displaystyle 6:2=3\cdot 1=3}$

Suma de un quebrado con un número natural[editar]

Cuando nos encontramos con la posibilidad de sumar un número entero con una fracción, lo podemos resolver mediante dos formas

Mediante m.c.m

Para resolver mediante m.c.m, procederemos así:

• a) Transformarlo en fracción

Primero, transformamos la parte entera a una fracción con denominador 1.

${\displaystyle 3+{\frac {2}{5}}={\frac {3}{1}}+{\frac {2}{5}}}$

• b) Realizar el m.c.m y resolverlobien

m.c.m (1,5) = ${\displaystyle 1\cdot 5=5}$

${\displaystyle 5:1=5\cdot 3=15}$

${\displaystyle 5:5=1\cdot 2=2}$

${\displaystyle {\frac {3}{1}}+{\frac {2}{5}}={\frac {15}{5}}+{\frac {2}{5}}={\frac {15+2}{5}}={\frac {17}{5}}}$

Directamente

Se multiplica el número por el denominador y se le suma al numerador:

${\displaystyle 3+{\frac {2}{5}}={\frac {(3\cdot 5)+2}{5}}={\frac {15+2}{5}}={\frac {17}{5}}}$

Multiplicación de fracciones[editar]

Para multiplicar dos fracciones, unicamente es multiplicar el numerador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción, y hacer lo mismo con los denominadores.

${\displaystyle {\frac {3}{6}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {3\cdot 2}{6\cdot 5}}={\frac {6}{30}}}$

Multiplicación de una fraccion con un número natural[editar]

Para multiplicar una fracción con un número se multiplica el número con el numerador, y el denominador por 1, ya que es un número es una fracción con denominador 1:

${\displaystyle 6\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {6}{1}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {6\cdot 1}{1\cdot 3}}={\frac {6}{3}}=2}$

Multiplicación de dos fracciones[editar]

Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los denominadores y los numeradores por los denominadores y los numeradores de las restantes fracciones

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {2}{5}}\cdot {\frac {4}{7}}\cdot {\frac {6}{8}}={\frac {1\cdot 2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 8}}={\frac {48}{840}}}$

Multiplicación de fracciones inversas[editar]

Cuando dos fracciones inversas se multiplican, el resultado es la unidad.

${\displaystyle {\frac {3}{6}}\cdot {\frac {6}{3}}={\frac {3\cdot 6}{6\cdot 3}}={\frac {18}{18}}=1}$

Otras operaciones con fracciones[editar]

Potenciacion de fracciones[editar]

Hay que decir que una potencia es aquella multiplicación donde se multiplica la base por si misma tantas veces como lo indique el exponente. Por lo que es una multiplicación de fracciones.

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1^{3}}{2^{3}}}={\frac {1}{8}}}$

Radicalización de fracciones[editar]

La radicalización es el proceso inverso a la potenciación. Para radicalizar una fracción, se extrae la raiz enesíma al numerador y denominador.

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {8}{27}}}={\frac {\sqrt[{3}]{8}}{\sqrt[{3}]{27}}}={\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\frac {16}{20}}}={\frac {\sqrt {16}}{\sqrt {20}}}={\frac {4}{\sqrt {20}}}}$

Racionalización[editar]

En el caso anterior, comprobamos que el denominador tenía una raiz cuadrada en su denominador. Para evitar tal situacion, se debe multiplicar la fracción con su conjugada para hacer desaparecer la raiz en el denominador.

${\displaystyle {\frac {4\cdot {\sqrt {20}}}{{\sqrt {20}}\cdot {\sqrt {20}}}}={\frac {4{\sqrt {20}}}{20}}={\frac {\sqrt {20}}{5}}}$

Existe el caso en el que el denominador tiene una suma de un número entero con un radical. Para racionalizar, la conjugada debe completar una diferencia de cuadrados.

${\displaystyle {\frac {3-{\sqrt {2}}}{3+{\sqrt {2}}}}={\frac {(3-{\sqrt {2}})(3-{\sqrt {2}})}{(3+{\sqrt {2}})(3-{\sqrt {2}})}}={\frac {(3-{\sqrt {2}})^{2}}{(3+{\sqrt {2}})(3-{\sqrt {2}})}}={\frac {9+2-6{\sqrt {2}}}{9-2}}={\frac {11-6{\sqrt {2}}}{7}}}$