Matematicas financieras
1. Problemas de Interés Simple
Formulas de Interés Simple
I = C * t * i
VF =C (1 + i * t)
C =VF (1 + i * t)-1
VF = C + I
I = interés; VF = valor futuro; C = Capital; i = tasa.
Calcular el interés simple comercial de:
$2.500 durante 8 meses al 8%.
C = $2.500 t = 8 meses i= 0,08
I = 2.500 * 8 * 0.08 =$133,33 Respuesta
12
I =$60.000 t =63 días i =0,09
I =60.000 * 63 * 0.09=$ 945 Respuesta
360
$60.000 durante 63 días al 9%.
C =12.000 t =3 meses i =0,085
I =12.000 * 3 * 0.085= $ 255 Respuesta
12
$12.000 durante 3 meses al 8½ %.
$15.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre. Del mismo año.
C =$15.000 i =0,10 t =167 días
I =15.000 * 0.10 * 167=$ 695,83 Respuesta
360
Calcular el interés simple comercial de:
$5.000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0,75% mensual.
C = 5.000 i = 0,0075 t =116 meses
3
3años *12 meses =36 meses + 2 meses = 38 meses + (20dias * 1 mes)= 116 meses
1 año 30 días
I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 Respuesta
Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa esta expresa de en meses por lo que debe transformarse el tiempo también a meses
$8.000 durante 7 meses 15 días al 1,5% mensual.
C = $8000 t =7,5 i = 0,015
7 meses + 15 días * 1 mes =7,5 meses
30 días
I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900. Respuesta
Un señor pago $2.500,20 por un pagaré de $2.400, firmado el 10 de abril de 1996 a un con 41/2 %de interés. ¿En qué fecha lo pagó?
VF = 2.500,20
C =2.400
i = 0.045
t =?
VF = C (1 + i * t)
2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 * t)
0,04175=0,045 t
t = 0,9277 años Respuesta 10 de marzo de 1997
Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de julio con vencimiento a 150 días. El 200de octubre del mismo maño lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?
VF =120.000(1 + 0,08 * 150) =124.000
360
124.000(1 + 0,1 * 53)-1= 122.000,93 Respuesta
360
Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagará tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento?
VF = 14.000(1 + 0,08 * 3) = 14.280 Valor de vencimiento
12
VF = 14.280(1+0,1 * 70) =14.557,67 respuesta - valor de mora.
360
Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe & 19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se le descontó el pagaré?
VF =VP (1+ i * t)
20.000=19.559,90 (1 + i * 90)
360
i =0, 09 è 9% Respuesta
Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagarás al 8% de rendimiento (tómese como fecha focal dentro de un año).
Vf1=20.000(1+0,08 * 9)= 21.200
12
Vf2=16.000(1+0,08 * 4)= 16.426,67
12
Deuda = 21.200 + 16.426,67
Deuda = 37.626,67
Pagos
P1 = x (1+0,08 * 6) =1,04 x
12
P2 = x
Pagos =P1 +P2
Pagos =2,04 x
Deuda = Pagos
37.626,67=2,04 x
Valor de los pagarés 18.444,45 cada uno /Respuesta
Nota: En este problema como en todos los similares debe llevarse los valores de las deudas a la fecha focal, en este caso 12 meses, para poder efectuar operaciones sobre estos valores.
2. Problemas de Descuento
Formulas para Descuento Real
D = VP * t * d
VN= VP + D
VN = VP (1 + d* t)
VP = VN (1 + d * t)-1
Las formulas son iguales a las de interés simple he aquí sus equivalencias.
i = d tanto por ciento/tasa de descuento
I = D descuento
VF =VN valor nominal
C =VP valor presente
Formulas de Descuento Comercial
D = VP * t * d
VN= VP + D
VN = VP (1 + d* t)
VP = VN (1 - d * t)
Determinar el valor líquido de los pagarés, descontados en un banco a las tasas y fechas indicadas a continuación:
a. $20.000 descontados al 10%, 45 días de su vencimiento.
20.000(1- 0.1 * 45)= 19.750 Respuesta
360
b. $18.000 descontados al 9%, 2 meses antes de su vencimiento.
18.000(1-0.09 * 2)=17.730 Respuesta
12
c. $14.000 descontados al 8% el 15 de junio, si su fecha de vencimiento es para el 18 de septiembre del mismo año.
14.000(1-0.08 * 95)=13.704,44 Respuesta
360
d. $10.000 descontados al 10% el 20 de noviembre, si su fecha de vencimiento es para el 14 de febrero del año siguiente.
10.000(1-0.1 * 86)=9.761,11 Respuesta
360
2.2. Alguien vende una propiedad por la que recibe los siguientes valores el 9 de julio de cierto año:
a. $20.00 de contado
b. Un pagaré por $20.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo año.
c. Un pagaré por $30.000, con vencimiento el 9 de diciembre del mismo año.
Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del 9%, calcular el valor real de la venta.
a. 20.000 contado
b. 20.000(1-0.09 * 92)=19.540
360
360 Total =20.000 + 19.540 + 28.852,5 = $68.392,50 Respuesta
Un pagaré de $10.000 se descuentan al 10% y se reciben del banco $9.789. Calcular la fecha de vencimiento del pagaré.
10.000=9.789 (1+0.1 * t)
t = 0,21 años
0,21 años * 12 meses = 2,52 meses Respuesta
1 año
El Banco Ganadero descuenta un pagaré por $80.000 al 10%, 90 días antes de su vencimiento, 5 días después lo redescuenta en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la utilidad del Banco Ganadero.
80.000(1-0.1 * 90)=78.000
360
80.000(1-0.09 * 75)= 78.500
360
Utilidad 78.500-78.000= 500 Respuesta
¿Qué tasa de descuento real se aplico a un documento con valor nominal de 700 dólares, si se descontó a 60 días antes de su vencimiento y se recibieron 666,67 dólares netos?
700=666,67(1 + i 60)
360
i = 0.30 è 30% Respuesta
¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron 146,52 dólares, si se descontó comercialmente a un tipo de 49%, 85 días antes de su vencimiento?
146,52 = VF (1 - 0,49 * 85)
360
VF = 165,68 Respuesta.
3. Transformación de Tasas
Método de igualación
Del 18% efectivo trimestral encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable mensualmente
(1+ 0,18)4/12 = (1 + ntnm)12/12
3
T. nominal trimestral capitalizable mensualmente = 0, 17 è 17,01% R.
Del 24% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.
(1+ 0,24)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2
Tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente =5,6 % Respuesta.
Del 12% nominal anual capitalizable trimestralmente, encuentre la tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente.
(1+ 0,12)4/4 = (1 + nsct)4/4
4 2
Tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente =0,06 è 6% R.
Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa efectiva bimensual.
(1+ 0,22)2/6 = (1 + e b)6/6
Tasa efectiva bimensual = 0,06852 è 6,85% Respuesta.
Del 30% nominal bimensual capitalizable semestralmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable anualmente.
(1+ 0,30 * 3)2 = (1 + ntca)
3
Tasa nominal trimestral capitalizable anualmente = 0,6525 è 65,25% R.
Del 52% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.
(1+ 0,52)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2
Tasa nominal capitalizable semestralmente = 0,1164 è 11,54% Resp.
4. Problemas de Interés Compuesto
Formulas de Interés Compuesto:
M = C (1 + i)n
C = M (1 + i)-n
M = monto o también llamado VF; C = capital; i = tasa; n =tiempo
Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 años.
i = 0,15 efectiva trimestral
n = 10 años
M = 20.000
C =?
C = 20.000 (1+ 0.15)-10(4)
4
C =4.586,75 Respuesta
¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000 que paga el 3% anual, para que se convierta en %7.500?
n =?
C = 2.000
i = 0,03
M =7.500
7.500 = 2.000 (1 +0,03)n
ln 15/4 = n ln 1,03
n = 44,71 años
44,71 años * 12 meses = 536,52 meses Respuesta.
1 año
Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:
a. al 5% efectivo anual
M = 100 (1 + 0,05)10 = 162,89 Respuesta
b. al 5% capitalizable mensualmente
M = 100 (1 + 0,05)10(12) =164,20 Respuesta
12
c. al 5% capitalizable trimestralmente
M = 100 (1 + 0,05)10(4) =164,36 Respuesta
4
30.000(1-0.09 * 153)=28.852,5
al 5% capitalizable semestralmente
M = 100 (1 + 0,05)10(2) =164,86 Respuesta
2
Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante 10 años 4 meses.
VF = 20.000(1 + 0,08) 10 (4/12) = 44.300,52 Respuesta
¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable trimestralmente?
(1+ 0,08)4/2 = (1 + n.c.s)2/2
4 2
i =0,0808 è 8,08% Respuesta
Hallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la cual $10.000 se convierten en $12.500, en 5 años.
12.500 = 10.000 (1 +i )10
2
i =0,0451 è 4,51% Respuesta
¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?
10.000=6.000 (1+ 0,08)n
n = 13,024 /2
n = 6,512 años Respuesta
¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?
M =2
C = 1
2=1(1+ i) 10
i = 7,17% sociedad maderera
--------------
M = 1(1+0,06)
4
M =1,8140 no duplico
Respuesta es más conveniente la sociedad maderera
Una inversionista ofreció comprar un pagará de $120.000 sin interés que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el precio ofrecido.
C = 120.000(1 + 0,08)-3
C = 95.259,87 Respuesta
Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%, convertible mensualmente.
VF = 20.000(1 + 0,05) 10 = 32.577,89 Respuesta
VF = 20.000(1 + 0,05) 120 = 32.940,19 convertible mensualmente Resp.
12
5. Problemas de Anualidades Vencidas
Formulas de Anualidades Vencidas
F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuro
i
P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ]=Valor presente
i
F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo
Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias.
(a) $2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.
F = 2.000[¨ (1 + 0, 04)17 -1] =47.395,07 valor futuro
0,04
P = 2.000[¨ 1 – (1+ 0, 04)-17 ]=24.331,34 valor presente
0,04
(b) $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable anualmente.
F = 4.000[¨ (1 + 0, 073)6 -1] =28.830,35 valor futuro
0,073
P = 4.000[¨ 1 – (1+ 0, 073)-6 ]=18.890,85 valor presente
0,073
(c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual.
F = 200[¨ (1 + 0, 0067)40 -1] =9.133,50 valor futuro
0,0067
P = 200[¨ 1 – (1+ 0, 0067)-40 ]=7.001,81 valor presente
0,0067
Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización mensual.
i =0,09/12=0,0075
P = 1.000[¨ 1 – (1+ 0, 0075)-30 ]=26.775,08
0,0075
2.500(1+0,0075)-31=1.983,09
26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 Respuesta.
¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500, si se carga el 12% con capitalización mensual?
i =0,12/12=0,01
P = 1.600[¨ 1 – (1+ 0, 01)-30 ]=41.292,33
0,01
2.500(1+0,01)-31=1.836,44
41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 Respuesta
Una mina en explotación tiene una producción anual de $8’000.000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%.
P = 8.000.000[¨ 1 – (1+ 0, 08)-10 ]=53.680.651,19 respuesta.
0,08
En el ejercicio 5.4. Se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el valor de $1’500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 25% de la producción.
1.500.000(1 + 0,08)-10 = 694.790, 23
53.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8
694.790,23 + 13420.162,80 = 14.114.953,03 Respuesta
En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1.500 en una cuenta que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus consignaciones a $3.000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.
F = 1.500 [¨ (1 + 0, 08)11 -1] =24.968,23
0,08
24.968,23(1 + 0,08)7 =42.791,16
F = 3.000[¨ (1 + 0, 08)7 -1] =26.768,41
0,08
1.500(1 + 0,08)18= 5994,02
42.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 = 75.553,60 Respuesta
Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años.
0,06 /12 =0,005 tasa mensual
F = 100[¨ (1 + 0, 005)240 -1] =46.204,09 Respuesta.
0,005
6. Problemas de Anualidades Anticipadas
Formulas de Anualidades Anticipadas
F = A [¨ (1 + i )n + 1 -1 - 1] =Valor futuro
i
P = A [¨1 + 1 – (1+ i )-n + 1]=Valor presente
i
F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo
Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de $3.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible mensualmente.
P = 3.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,01 )-180 + 1]= 252.464,64
0,01
Una persona recibe tres ofertas parea la compra de su propiedad: (a) $400.000 de contado; (b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales, durante 2 ½ años (c) $20.000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250.000, al finalizar el cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual?
Oferta b
P = 50.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,04 )-4]= 231.494,76 + 190.000 = 421.494,76
0,04
Oferta c
P =20.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,02 )-11]= 215.736,96
0,02
25.000(1 +0,08)-4 = 183.757,46
215.736,96 + 183.757,46 = 399.494,42
Respuesta = Oferta b es la más conveniente.
¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada mes, durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, convertible mensualmente?
P =500 [¨1 + 1 – (1+ 0,0075 )-179]= 49.666,42 Respuesta.
0,0075
¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6% para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $2.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo?
2’000.000 * 0.10= 200.000
2’000.000 - 200.000 = 1’800.000
1´800.000 = A [¨ (1 + 0,06 )6 -1 - 1]
0,06
A = 301.239,17 Respuesta.
Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada año, por el equivalente en pagos mensuales anticipados, con un interés del 9% convertible mensualmente.
8.000 = A [¨ (1 + 0,0075 )13 -1 - 1]
0,0075
A = 634,85 Respuesta.
Un empleado consigna $300 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30.000?
0,08 = 0,0067
12
30.000 = 300 [¨ (1 + 0,08 )n + 1 -1 - 1]
0,08
n = 76,479 meses
7. Problemas de Anualidades Diferidas
Formulas para anualidades diferidas
Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas salvo que estas tienen un periodo de gracia.
Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $2.400.000. suponiendo que la tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación, hállese el valor futuro de la renta que espera obtenerse.
VF = 2.400.000 [(1 + 0,08)15 - 1]
0,08
VF = 6.516.503,43 Respuesta
En el problema anterior, hállese el valor de utilidad que espera obtener, en el momento de la adquisición de los yacimientos.
VP = 2.400.000 [1 - (1 + 0,08)-15 ]
0,08
VP = 20.542.748,85
20.542.748,85 (1 + 0,08)-6 = 12.945.416 Respuesta.
Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años. La producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la producción.
VP = 400.000 [1 - (1 + 0,06)-20 ]
0,06
VP = 4587968,487 (1 + 0,06)-5 = 3428396,90
Alguien deposita $100.000 en un banco, con la intención de que dentro de 10 años se pague, a él o a sus herederos, una renta de $2.500, a principio de cada mes. ¿Durante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6% convertible mensualmente?
VF = 100.000 (1 + 0,005)120 = 181.939,67
181939,67 = 2.500 [ 1 + 1- (1 + 0,005)-n +1 ]
0,005
n = 90,13
Respuesta = 7 años 7meses
Una deuda contraída al 8% nominal, debe cancelarse con 8 cuotas semestrales de $20.000 c/u, con la primera obligación por pagar dentro de 2 años. Sustituirla por una obligación equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales, pagándose la primera de inmediato.
20.000 [1 + 1 - (1 + 0,04)-7 ] (1+0,04)-4 = 119.707,7136
0,04
119.707,71 = A [1 + 1 - (1 + 0,02)-23]
0,02
A = 6.204,97 Respuesta anualidades trimestrales
8. Problemas de Rentas Perpetuas
Formulas de Rentas Perpetuas
P = A
i
P = A + A
i
CC= Co + Com
i
P = perpetuidad; A = anualidad; Co = costo inicial; CC = costo capitalizado;
i = interés
Hallar el valor actual de una perpetuidad de $5.000, cuyo primer pago se hará dentro de 6 meses, con tasa nominal del 12% convertible mensualmente
P =5.000=500.000
0,01
M =500.000(1 + 0,01)-5 = 475.732,84 Respuesta.
Hallar el valor actual de una renta de $156.000 por año vencido, suponiendo un interés de:
a. 6% efectivo
156.000 = 2’561.576,35 Respuesta
0,06
b. 6% convertible semestralmente
156.000 = A [(1 + 0,03)2 - 1]
0,03
A = 76.847,29
P =76.847,29=2’561.576,35 Respuesta
0,03
c. 6% convertible mensualmente.
156.000 = A [(1 + 0,005)12 - 1]
0,005
A = 12.646,36
P =12.646,36=2’529.272,61 Respuesta
0,005
Los exalumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial de $200.000 y el mantenimiento se estima en $35.000 anuales, hallar el valor de la donación, si la tasa efectiva es del 7%.
P = 200.000 + 35.000 = 700.000 Respuesta
0,07
Para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide establecer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en $300.000 cada 5 años. Hallar el valor del fondo, con la tasa efectiva del 6%.
300.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1]
0,06
A = 53.218,92
P = 53.218,92 = 886.982 Respuesta
0,06
Calcular el costo capitalizado de un equipo industrial que cuesta $800.000 y tiene una vida útil de 12 años, al final de los cuales debe remplazarse, con el mismo costo. Calcular con la tasa del 6%.
800.000 = A [(1 + 0,06)12 - 1]
0,06
A = 47.421,62
CC = 800.000 + 47421,62
0,06
CC = 1’590.360,39 Respuesta.
En el problema anterior, calcular el costo capitalizado, suponiendo un valor de salvamento igual al 15% del costo original.
800.000 * 0.15 =120.000
680.000 = A [(1 + 0,06)12 - 1]
0,06
A = 40.308,38
CC = 800.000 + 40.308,37
0,06
CC = 1’471.806,33 Respuesta
Una industria recibe dos ofertas de cierto tipo de máquina, ambas de igual rendimiento. La primer oferta es por $380.000 y las maquinas tiene una vida útil de 7 años; la segunda oferta es de $510.000 por maquinas que tienen una vida útil de 10 años. Si el precio del dinero es el 6% efectivo, ¿qué oferta es más conveniente?
Primera oferta
380.000 = A [(1 + 0,06)7 - 1]
0,06
A = 45.271,30
CC = 380.000 + 45.271,30
0,06
CC = 1’134.521,78 Respuesta
Segunda Oferta
510.000 = A [(1 + 0,06)10 - 1]
0,06
A = 38692,66
CC = 510.000 + 38.692,66
0,06
CC = 1’154.877,65 Respuesta
Respuesta = El CC de la primera oferta en menor en 20.355,86
Leer más: http://www.monografias.com/trabajos12/mafina/mafina.shtml#ixzz4dOtiB6TD
Formulas de Interés Simple
I = C * t * i
VF =C (1 + i * t)
C =VF (1 + i * t)-1
VF = C + I
I = interés; VF = valor futuro; C = Capital; i = tasa.
Calcular el interés simple comercial de:
$2.500 durante 8 meses al 8%.
C = $2.500 t = 8 meses i= 0,08
I = 2.500 * 8 * 0.08 =$133,33 Respuesta
12
I =$60.000 t =63 días i =0,09
I =60.000 * 63 * 0.09=$ 945 Respuesta
360
$60.000 durante 63 días al 9%.
C =12.000 t =3 meses i =0,085
I =12.000 * 3 * 0.085= $ 255 Respuesta
12
$12.000 durante 3 meses al 8½ %.
$15.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre. Del mismo año.
C =$15.000 i =0,10 t =167 días
I =15.000 * 0.10 * 167=$ 695,83 Respuesta
360
Calcular el interés simple comercial de:
$5.000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0,75% mensual.
C = 5.000 i = 0,0075 t =116 meses
3
3años *12 meses =36 meses + 2 meses = 38 meses + (20dias * 1 mes)= 116 meses
1 año 30 días
I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 Respuesta
Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa esta expresa de en meses por lo que debe transformarse el tiempo también a meses
$8.000 durante 7 meses 15 días al 1,5% mensual.
C = $8000 t =7,5 i = 0,015
7 meses + 15 días * 1 mes =7,5 meses
30 días
I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900. Respuesta
Un señor pago $2.500,20 por un pagaré de $2.400, firmado el 10 de abril de 1996 a un con 41/2 %de interés. ¿En qué fecha lo pagó?
VF = 2.500,20
C =2.400
i = 0.045
t =?
VF = C (1 + i * t)
2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 * t)
0,04175=0,045 t
t = 0,9277 años Respuesta 10 de marzo de 1997
Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de julio con vencimiento a 150 días. El 200de octubre del mismo maño lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?
VF =120.000(1 + 0,08 * 150) =124.000
360
124.000(1 + 0,1 * 53)-1= 122.000,93 Respuesta
360
Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagará tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento?
VF = 14.000(1 + 0,08 * 3) = 14.280 Valor de vencimiento
12
VF = 14.280(1+0,1 * 70) =14.557,67 respuesta - valor de mora.
360
Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe & 19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se le descontó el pagaré?
VF =VP (1+ i * t)
20.000=19.559,90 (1 + i * 90)
360
i =0, 09 è 9% Respuesta
Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagarás al 8% de rendimiento (tómese como fecha focal dentro de un año).
Vf1=20.000(1+0,08 * 9)= 21.200
12
Vf2=16.000(1+0,08 * 4)= 16.426,67
12
Deuda = 21.200 + 16.426,67
Deuda = 37.626,67
Pagos
P1 = x (1+0,08 * 6) =1,04 x
12
P2 = x
Pagos =P1 +P2
Pagos =2,04 x
Deuda = Pagos
37.626,67=2,04 x
Valor de los pagarés 18.444,45 cada uno /Respuesta
Nota: En este problema como en todos los similares debe llevarse los valores de las deudas a la fecha focal, en este caso 12 meses, para poder efectuar operaciones sobre estos valores.
2. Problemas de Descuento
Formulas para Descuento Real
D = VP * t * d
VN= VP + D
VN = VP (1 + d* t)
VP = VN (1 + d * t)-1
Las formulas son iguales a las de interés simple he aquí sus equivalencias.
i = d tanto por ciento/tasa de descuento
I = D descuento
VF =VN valor nominal
C =VP valor presente
Formulas de Descuento Comercial
D = VP * t * d
VN= VP + D
VN = VP (1 + d* t)
VP = VN (1 - d * t)
Determinar el valor líquido de los pagarés, descontados en un banco a las tasas y fechas indicadas a continuación:
a. $20.000 descontados al 10%, 45 días de su vencimiento.
20.000(1- 0.1 * 45)= 19.750 Respuesta
360
b. $18.000 descontados al 9%, 2 meses antes de su vencimiento.
18.000(1-0.09 * 2)=17.730 Respuesta
12
c. $14.000 descontados al 8% el 15 de junio, si su fecha de vencimiento es para el 18 de septiembre del mismo año.
14.000(1-0.08 * 95)=13.704,44 Respuesta
360
d. $10.000 descontados al 10% el 20 de noviembre, si su fecha de vencimiento es para el 14 de febrero del año siguiente.
10.000(1-0.1 * 86)=9.761,11 Respuesta
360
2.2. Alguien vende una propiedad por la que recibe los siguientes valores el 9 de julio de cierto año:
a. $20.00 de contado
b. Un pagaré por $20.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo año.
c. Un pagaré por $30.000, con vencimiento el 9 de diciembre del mismo año.
Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del 9%, calcular el valor real de la venta.
a. 20.000 contado
b. 20.000(1-0.09 * 92)=19.540
360
360 Total =20.000 + 19.540 + 28.852,5 = $68.392,50 Respuesta
Un pagaré de $10.000 se descuentan al 10% y se reciben del banco $9.789. Calcular la fecha de vencimiento del pagaré.
10.000=9.789 (1+0.1 * t)
t = 0,21 años
0,21 años * 12 meses = 2,52 meses Respuesta
1 año
El Banco Ganadero descuenta un pagaré por $80.000 al 10%, 90 días antes de su vencimiento, 5 días después lo redescuenta en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la utilidad del Banco Ganadero.
80.000(1-0.1 * 90)=78.000
360
80.000(1-0.09 * 75)= 78.500
360
Utilidad 78.500-78.000= 500 Respuesta
¿Qué tasa de descuento real se aplico a un documento con valor nominal de 700 dólares, si se descontó a 60 días antes de su vencimiento y se recibieron 666,67 dólares netos?
700=666,67(1 + i 60)
360
i = 0.30 è 30% Respuesta
¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron 146,52 dólares, si se descontó comercialmente a un tipo de 49%, 85 días antes de su vencimiento?
146,52 = VF (1 - 0,49 * 85)
360
VF = 165,68 Respuesta.
3. Transformación de Tasas
Método de igualación
Del 18% efectivo trimestral encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable mensualmente
(1+ 0,18)4/12 = (1 + ntnm)12/12
3
T. nominal trimestral capitalizable mensualmente = 0, 17 è 17,01% R.
Del 24% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.
(1+ 0,24)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2
Tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente =5,6 % Respuesta.
Del 12% nominal anual capitalizable trimestralmente, encuentre la tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente.
(1+ 0,12)4/4 = (1 + nsct)4/4
4 2
Tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente =0,06 è 6% R.
Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa efectiva bimensual.
(1+ 0,22)2/6 = (1 + e b)6/6
Tasa efectiva bimensual = 0,06852 è 6,85% Respuesta.
Del 30% nominal bimensual capitalizable semestralmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable anualmente.
(1+ 0,30 * 3)2 = (1 + ntca)
3
Tasa nominal trimestral capitalizable anualmente = 0,6525 è 65,25% R.
Del 52% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.
(1+ 0,52)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2
Tasa nominal capitalizable semestralmente = 0,1164 è 11,54% Resp.
4. Problemas de Interés Compuesto
Formulas de Interés Compuesto:
M = C (1 + i)n
C = M (1 + i)-n
M = monto o también llamado VF; C = capital; i = tasa; n =tiempo
Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 años.
i = 0,15 efectiva trimestral
n = 10 años
M = 20.000
C =?
C = 20.000 (1+ 0.15)-10(4)
4
C =4.586,75 Respuesta
¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000 que paga el 3% anual, para que se convierta en %7.500?
n =?
C = 2.000
i = 0,03
M =7.500
7.500 = 2.000 (1 +0,03)n
ln 15/4 = n ln 1,03
n = 44,71 años
44,71 años * 12 meses = 536,52 meses Respuesta.
1 año
Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:
a. al 5% efectivo anual
M = 100 (1 + 0,05)10 = 162,89 Respuesta
b. al 5% capitalizable mensualmente
M = 100 (1 + 0,05)10(12) =164,20 Respuesta
12
c. al 5% capitalizable trimestralmente
M = 100 (1 + 0,05)10(4) =164,36 Respuesta
4
30.000(1-0.09 * 153)=28.852,5
al 5% capitalizable semestralmente
M = 100 (1 + 0,05)10(2) =164,86 Respuesta
2
Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante 10 años 4 meses.
VF = 20.000(1 + 0,08) 10 (4/12) = 44.300,52 Respuesta
¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable trimestralmente?
(1+ 0,08)4/2 = (1 + n.c.s)2/2
4 2
i =0,0808 è 8,08% Respuesta
Hallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la cual $10.000 se convierten en $12.500, en 5 años.
12.500 = 10.000 (1 +i )10
2
i =0,0451 è 4,51% Respuesta
¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?
10.000=6.000 (1+ 0,08)n
n = 13,024 /2
n = 6,512 años Respuesta
¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?
M =2
C = 1
2=1(1+ i) 10
i = 7,17% sociedad maderera
--------------
M = 1(1+0,06)
4
M =1,8140 no duplico
Respuesta es más conveniente la sociedad maderera
Una inversionista ofreció comprar un pagará de $120.000 sin interés que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el precio ofrecido.
C = 120.000(1 + 0,08)-3
C = 95.259,87 Respuesta
Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%, convertible mensualmente.
VF = 20.000(1 + 0,05) 10 = 32.577,89 Respuesta
VF = 20.000(1 + 0,05) 120 = 32.940,19 convertible mensualmente Resp.
12
5. Problemas de Anualidades Vencidas
Formulas de Anualidades Vencidas
F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuro
i
P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ]=Valor presente
i
F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo
Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias.
(a) $2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.
F = 2.000[¨ (1 + 0, 04)17 -1] =47.395,07 valor futuro
0,04
P = 2.000[¨ 1 – (1+ 0, 04)-17 ]=24.331,34 valor presente
0,04
(b) $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable anualmente.
F = 4.000[¨ (1 + 0, 073)6 -1] =28.830,35 valor futuro
0,073
P = 4.000[¨ 1 – (1+ 0, 073)-6 ]=18.890,85 valor presente
0,073
(c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual.
F = 200[¨ (1 + 0, 0067)40 -1] =9.133,50 valor futuro
0,0067
P = 200[¨ 1 – (1+ 0, 0067)-40 ]=7.001,81 valor presente
0,0067
Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización mensual.
i =0,09/12=0,0075
P = 1.000[¨ 1 – (1+ 0, 0075)-30 ]=26.775,08
0,0075
2.500(1+0,0075)-31=1.983,09
26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 Respuesta.
¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500, si se carga el 12% con capitalización mensual?
i =0,12/12=0,01
P = 1.600[¨ 1 – (1+ 0, 01)-30 ]=41.292,33
0,01
2.500(1+0,01)-31=1.836,44
41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 Respuesta
Una mina en explotación tiene una producción anual de $8’000.000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%.
P = 8.000.000[¨ 1 – (1+ 0, 08)-10 ]=53.680.651,19 respuesta.
0,08
En el ejercicio 5.4. Se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el valor de $1’500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 25% de la producción.
1.500.000(1 + 0,08)-10 = 694.790, 23
53.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8
694.790,23 + 13420.162,80 = 14.114.953,03 Respuesta
En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1.500 en una cuenta que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus consignaciones a $3.000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.
F = 1.500 [¨ (1 + 0, 08)11 -1] =24.968,23
0,08
24.968,23(1 + 0,08)7 =42.791,16
F = 3.000[¨ (1 + 0, 08)7 -1] =26.768,41
0,08
1.500(1 + 0,08)18= 5994,02
42.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 = 75.553,60 Respuesta
Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años.
0,06 /12 =0,005 tasa mensual
F = 100[¨ (1 + 0, 005)240 -1] =46.204,09 Respuesta.
0,005
6. Problemas de Anualidades Anticipadas
Formulas de Anualidades Anticipadas
F = A [¨ (1 + i )n + 1 -1 - 1] =Valor futuro
i
P = A [¨1 + 1 – (1+ i )-n + 1]=Valor presente
i
F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo
Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de $3.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible mensualmente.
P = 3.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,01 )-180 + 1]= 252.464,64
0,01
Una persona recibe tres ofertas parea la compra de su propiedad: (a) $400.000 de contado; (b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales, durante 2 ½ años (c) $20.000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250.000, al finalizar el cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual?
Oferta b
P = 50.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,04 )-4]= 231.494,76 + 190.000 = 421.494,76
0,04
Oferta c
P =20.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,02 )-11]= 215.736,96
0,02
25.000(1 +0,08)-4 = 183.757,46
215.736,96 + 183.757,46 = 399.494,42
Respuesta = Oferta b es la más conveniente.
¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada mes, durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, convertible mensualmente?
P =500 [¨1 + 1 – (1+ 0,0075 )-179]= 49.666,42 Respuesta.
0,0075
¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6% para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $2.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo?
2’000.000 * 0.10= 200.000
2’000.000 - 200.000 = 1’800.000
1´800.000 = A [¨ (1 + 0,06 )6 -1 - 1]
0,06
A = 301.239,17 Respuesta.
Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada año, por el equivalente en pagos mensuales anticipados, con un interés del 9% convertible mensualmente.
8.000 = A [¨ (1 + 0,0075 )13 -1 - 1]
0,0075
A = 634,85 Respuesta.
Un empleado consigna $300 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30.000?
0,08 = 0,0067
12
30.000 = 300 [¨ (1 + 0,08 )n + 1 -1 - 1]
0,08
n = 76,479 meses
7. Problemas de Anualidades Diferidas
Formulas para anualidades diferidas
Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas salvo que estas tienen un periodo de gracia.
Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $2.400.000. suponiendo que la tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación, hállese el valor futuro de la renta que espera obtenerse.
VF = 2.400.000 [(1 + 0,08)15 - 1]
0,08
VF = 6.516.503,43 Respuesta
En el problema anterior, hállese el valor de utilidad que espera obtener, en el momento de la adquisición de los yacimientos.
VP = 2.400.000 [1 - (1 + 0,08)-15 ]
0,08
VP = 20.542.748,85
20.542.748,85 (1 + 0,08)-6 = 12.945.416 Respuesta.
Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años. La producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la producción.
VP = 400.000 [1 - (1 + 0,06)-20 ]
0,06
VP = 4587968,487 (1 + 0,06)-5 = 3428396,90
Alguien deposita $100.000 en un banco, con la intención de que dentro de 10 años se pague, a él o a sus herederos, una renta de $2.500, a principio de cada mes. ¿Durante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6% convertible mensualmente?
VF = 100.000 (1 + 0,005)120 = 181.939,67
181939,67 = 2.500 [ 1 + 1- (1 + 0,005)-n +1 ]
0,005
n = 90,13
Respuesta = 7 años 7meses
Una deuda contraída al 8% nominal, debe cancelarse con 8 cuotas semestrales de $20.000 c/u, con la primera obligación por pagar dentro de 2 años. Sustituirla por una obligación equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales, pagándose la primera de inmediato.
20.000 [1 + 1 - (1 + 0,04)-7 ] (1+0,04)-4 = 119.707,7136
0,04
119.707,71 = A [1 + 1 - (1 + 0,02)-23]
0,02
A = 6.204,97 Respuesta anualidades trimestrales
8. Problemas de Rentas Perpetuas
Formulas de Rentas Perpetuas
P = A
i
P = A + A
i
CC= Co + Com
i
P = perpetuidad; A = anualidad; Co = costo inicial; CC = costo capitalizado;
i = interés
Hallar el valor actual de una perpetuidad de $5.000, cuyo primer pago se hará dentro de 6 meses, con tasa nominal del 12% convertible mensualmente
P =5.000=500.000
0,01
M =500.000(1 + 0,01)-5 = 475.732,84 Respuesta.
Hallar el valor actual de una renta de $156.000 por año vencido, suponiendo un interés de:
a. 6% efectivo
156.000 = 2’561.576,35 Respuesta
0,06
b. 6% convertible semestralmente
156.000 = A [(1 + 0,03)2 - 1]
0,03
A = 76.847,29
P =76.847,29=2’561.576,35 Respuesta
0,03
c. 6% convertible mensualmente.
156.000 = A [(1 + 0,005)12 - 1]
0,005
A = 12.646,36
P =12.646,36=2’529.272,61 Respuesta
0,005
Los exalumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial de $200.000 y el mantenimiento se estima en $35.000 anuales, hallar el valor de la donación, si la tasa efectiva es del 7%.
P = 200.000 + 35.000 = 700.000 Respuesta
0,07
Para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide establecer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en $300.000 cada 5 años. Hallar el valor del fondo, con la tasa efectiva del 6%.
300.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1]
0,06
A = 53.218,92
P = 53.218,92 = 886.982 Respuesta
0,06
Calcular el costo capitalizado de un equipo industrial que cuesta $800.000 y tiene una vida útil de 12 años, al final de los cuales debe remplazarse, con el mismo costo. Calcular con la tasa del 6%.
800.000 = A [(1 + 0,06)12 - 1]
0,06
A = 47.421,62
CC = 800.000 + 47421,62
0,06
CC = 1’590.360,39 Respuesta.
En el problema anterior, calcular el costo capitalizado, suponiendo un valor de salvamento igual al 15% del costo original.
800.000 * 0.15 =120.000
680.000 = A [(1 + 0,06)12 - 1]
0,06
A = 40.308,38
CC = 800.000 + 40.308,37
0,06
CC = 1’471.806,33 Respuesta
Una industria recibe dos ofertas de cierto tipo de máquina, ambas de igual rendimiento. La primer oferta es por $380.000 y las maquinas tiene una vida útil de 7 años; la segunda oferta es de $510.000 por maquinas que tienen una vida útil de 10 años. Si el precio del dinero es el 6% efectivo, ¿qué oferta es más conveniente?
Primera oferta
380.000 = A [(1 + 0,06)7 - 1]
0,06
A = 45.271,30
CC = 380.000 + 45.271,30
0,06
CC = 1’134.521,78 Respuesta
Segunda Oferta
510.000 = A [(1 + 0,06)10 - 1]
0,06
A = 38692,66
CC = 510.000 + 38.692,66
0,06
CC = 1’154.877,65 Respuesta
Respuesta = El CC de la primera oferta en menor en 20.355,86
Leer más: http://www.monografias.com/trabajos12/mafina/mafina.shtml#ixzz4dOtiB6TD
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