Cálculo diferencial e integral.

Siempre que te enfrentas a un problema es muy importante que lo sitúes en su contexto apropiado.
Esto ya lo haces de forma automática en muchas ocasiones. Por ejemplo, sabes que un
problema de álgebra y otro de probabilidades requieren distintas herramientas, y al primero lo
sitúas en “Álgebra” y al segundo en “Cálculo de Probabilidades”. Pero no siempre las cosas
son tan claras, no siempre tienes un “marco de referencia” tan explícito. Para que sientas lo que
quiero decirte, voy a proponerte unos ejercicios muy sencillos. En todo lo que sigue se supone
que x; y son números reales.
1. Prueba que 0 x D 0.
2. Prueba que .x/y
D xy.
3. Prueba que si x ¤ 0 entonces x
2 > 0.
Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los números que
has olvidado cuándo las aprendiste. ¡Y ahora te pido que las demuestres! Puedo imaginar tu
reacción ¿que demuestre que 0 x D 0?, ¡pero si eso es evidente! ¡siempre me han dicho que es
así! ¿cómo se puede demostrar tal cosa?.
Pienso que muchas veces la dificultad de un ejercicio está en que no sabes qué es exactamente
lo que se te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas situaciones
lo más frecuente es “quedarse colgado” con la “mente en blanco” sin saber qué hacer.
Para evitar ese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que va
a consistir en unas propiedades de los números – axiomas, si quieres llamarlas así – que vamos
a aceptar como punto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con las reglas
de inferencia lógica usuales y con definiciones apropiadas nos permitirán demostrar resultados
(teoremas) que podremos usar para seguir avanzando.
Simplificando un poco, puede decirse que en matemáticas no hay nada más que axiomas
y teoremas (bueno, también hay conjeturas, proposiciones indecidibles. . . ). Todo lo que se
demuestra es un teorema; por ejemplo 0 x D 0 es un teorema. Ocurre que el nombre teorema
se reserva para resultados que se consideran realmente importantes y que ha costado esfuerzo
llegar a probarlos. Se usan también los términos: corolario, lema, proposición y otros. Pero
la estructura de una teoría matemática elaborada se resume en un conjunto de axiomas y de
teoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencia lógica.
Los axiomas de una teoría matemática proporcionan el marco de referencia más general de
dicha teoría. Son, por tanto, muy importantes. Al principio, cuando la teoría empieza a caminar
y se demuestran los primeros resultados más básicos, es frecuente recurrir de forma explícita
a los axiomas. Más adelante, cuando la teoría va avanzando, los axiomas no suelen citarse con
tanta frecuencia porque nos apoyamos en resultados más elaborados previamente demostrados.
Pero los axiomas siempre están presentes aunque sea de forma discreta y no ostensible.
Entre las particularidades que distinguen a las Matemáticas de las demás ciencias hay una
muy especial: las Matemáticas avanzan dando definiciones. Las definiciones no son nuevos
axiomas. Una definición lo que hace es introducir un término nuevo y establece cómo dicho
término se expresa en función de los axiomas de la teoría. Por ejemplo, la definición de continuidad
se expresa mediante desigualdades y las desigualdades se reducen a los axiomas de
orden de R.
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Prof. Javier Pérez
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Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. 3
Quiero también decirte algo sobre lo que se entiende por reglas de inferencia lógicas usuales.
Me limitaré a la más importante: la implicación lógica. Los teoremas matemáticos tienen
casi siempre la siguiente estructura: se parte de una hipótesis y de ella se deduce una tesis.
Entremos en detalles. La hipótesis es siempre alguna propiedad matemática; por ejemplo, “f
es una función continua en un intervalo”. La tesis también es una propiedad matemática; por
ejemplo, “la imagen de f es un intervalo”. Representemos por H la hipótesis y por T la tesis.
Es importante que te des cuenta de que no tiene sentido preguntarse por la veracidad de la hipótesis
H. No es ni verdadera ni falsa. Para que H sea verdadera o falsa debemos particularizar
la función f .
~ Un error muy frecuente consiste en pensar que en Matemáticas las hipótesis son verdaderas.
Ahora te preguntarás, si H no es verdadera ni falsa, ¿qué quiere decir que H implica T
o, equivalentemente, que T se deduce o es consecuencia de H? La respuesta es: “H implica
T ” quiere decir que siempre que H sea verdadera también T es verdadera. Observa que no
estamos afirmando (no tiene sentido) que H o T sean verdaderas sino que cuando H es verdadera
también lo es T . Con más precisión, demostrar que H implica T consiste en probar que la
proposición H÷T es cierta. Teniendo en cuenta que la proposición H÷T es la disyunción
lógica (noH)_T , resulta que si H es falsa entonces H÷T es verdadera (por eso se dice que
de una hipótesis falsa puede deducirse cualquier cosa) y si H es verdadera entonces para que
H÷T sea verdadera tiene que ocurrir que T sea verdadera. En consecuencia, si sabemos que
H es verdadera y que H÷T es verdadera, deducimos que T es verdadera.
Ahora puedes entender el significado de la frase de C. P. Steinmetz.
La matemática es la ciencia más exacta, y sus conclusiones son susceptibles de
demostración absoluta. Pero eso se debe exclusivamente a que la matemática no
intenta obtener conclusiones absolutas. Todas las verdades matemáticas son relativas,
condicionales.
También comprendes ya el significado de una parte de la enigmática frase de Bertrand Russell
del principio: en matemáticas no sabemos si lo que decimos es verdad. Pero una parte de dicha
frase queda por aclarar.
¿Recuerdas los axiomas de la geometría elemental? En dichos axiomas se establecen propiedades
que se supone satisfacen ciertos objetos llamados “punto”,“recta” y “plano”. Pero no
se dice nunca lo que es un punto ni una recta ni un plano. De la misma forma, en la sección
siguiente estableceremos los axiomas de los números reales, pero no diremos lo que es un nú-
mero real. ¡En matemáticas nunca decimos cuál es la naturaleza concreta de los objetos con
los que trabajamos! Sucede que la intuición nos lleva muchas veces a una interpretación natural
de dichos objetos, pero otras veces dicha interpretación natural no está disponible. Y, lo
más interesante, puede haber interpretaciones muy diferentes de una misma teoría matemática.
Precisamente, las matemáticas son una ciencia abstracta porque trabaja con cosas abstractas
cuya naturaleza no se precisa ni es necesario saber, solamente interesan las relaciones que hay
entre ellas tal y como se establecen en los axiomas. Ahora ya entiendes por qué afirma Bertrand
Russell que “en matemáticas no sabemos de lo que hablamos”.
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Cálculo diferencial e integral
Axiomas de los números reales 4
1.2. Axiomas de los números reales
1.2.1. Axiomas algebraicos
Como ya sabes, se distinguen distintas clases de números:
Los números naturales 1; 2; 3; : : : . El conjunto de todos ellos se representa por N.
Los números enteros : : : ; 2;
1;
0; 1; 2; : : : . cuyo conjunto se representa por Z.
Los números racionales que son cocientes de la forma p=q donde p 2 Z; q 2 N, cuyo
conjunto representamos por Q.
También conoces otros números como p
2, , o el número e que no son números racionales
y que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, “números irracionales”. Pues
bien, el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto de
los números reales y se representa por R.
Es claro que N Z Q R.
Aunque los números que no son racionales pueden parecer un poco raros, no merece la
pena, al menos por ahora, preocuparse por cómo son estos números; sino que lo realmente
interesante es aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del número p
2 es que su cuadrado
es igual a 2
1
.
Pues bien, una de las cosas más llamativas de los números es que a partir de un pequeño
grupo de propiedades pueden deducirse casi todas las demás. Vamos a destacar estas propiedades
básicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se
pueden hacer con los números: la suma y el producto. La suma de dos números reales x; y se
escribe xCy, representándose el producto por xy. Las propiedades básicas a que nos referimos
son las siguientes.
P1 Propiedades asociativas. Para todos x; y; z en R:
.x C y/ C z D x C .y C z/I .xy/z D x.yz/
P2 Propiedades conmutativas. Para todos x; y en R:
x C y D y C x I x y D yx
P3 Elementos neutros. Hay dos números reales distintos que representamos por 0 y 1
tales que para todo x 2R se verifica que:
0 C x D x 1x D x
P4 Elementos opuesto e inverso. Para cada número real x hay un número real llamado
opuesto de x, que representamos por x,
tal que x C .x/
D 0:
Para cada número real x distinto de 0, x ¤ 0, hay un número real llamado inverso de
x, que representamos por x
1
, tal que xx1
D 1:
1La sección Números y medida de magnitudes trata de la aparición de los números irracionales y su relación
con la medida de magnitudes
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Cálculo diferencial e integral
Axiomas de orden 5
P5 Propiedad distributiva. .x C y/z D xz C y z para todos x; y; z en R.
Las propiedades anteriores son de tipo algebraico y, aunque son muy sencillas, a partir de ellas
pueden probarse cosas tan familiares como que 0x D 0, o que .x/y
D .xy/.
Vamos a
hacerlo.
1.1 Proposición. Se verifican las siguientes igualdades
0x D 0; .x/y
D x
y; .x/.y/
D xy :
Demostración. Probaremos primero que 0x D 0. Por P5 .0 C 0/x D 0 x C 0 x. Como
consecuencia de P3 es 0 C 0 D 0. Obtenemos así que 0 x D 0 x C 0 x. Usando P4, sumamos
el opuesto de 0 x a ambos lados de la igualdad 0 x D 0 x C 0 x y, usando también P1 (la
propiedad asociativa), obtenemos que 0 x D 0.
Probaremos ahora que .x/y
D .xy/.
Tenemos que xy C .x/y
D .x C .x//y
D
0 y D 0. Donde hemos usado P4, P5 y el apartado anterior. La igualdad xy C .x/y
D 0 nos
dice, por P4, que .x/y
es el opuesto de xy. Eso es justamente lo que queríamos probar.
Finalmente, la igualdad .x/.y/
D xy es consecuencia inmediata de la anterior. 2
~ El símbolo x
debe leerse siempre “el opuesto de x” y no “menos x”. La razón es que
la palabra “menos” remite a una idea de orden (si hay “menos” es porque hay “más”) y el
significado de x
es puramente algebraico y nada tiene que ver con la idea de orden de la que
ni siquiera hemos hablado aún. ¡No cometas el error de pensar que x
es negativo!
Notación. Suele escribirse x
y en vez de x C .y/.
También, supuesto y ¤ 0, se escribe
x=y o
x
y
en vez de x y1
.
1.2.2. Axiomas de orden
Los números tienen, además de las propiedades algebraicas, otras propiedades que suelen
llamarse propiedades de orden. Como sabes, los números suelen representarse como puntos de
una recta en la que se fija un origen, el 0, de forma arbitraria. Los números que hay a la derecha
de 0, se llaman positivos y el conjunto de todos ellos se representa por RC. Las propiedades
básicas del orden son las siguientes.
P6 Ley de tricotomía. Para cada número real x se verifica una sola de las siguientes tres
afirmaciones: x D 0, x es positivo, x
es positivo.
P7 Estabilidad de RC. La suma y el producto de números positivos es también un número
positivo.
1.2.2.1. Relación de orden
Observa que en P6 se dice, en particular, que el 0 no es positivo, ¡el 0 es el 0! Por otra parte,
si x es un número positivo, entonces como x C .x/
D 0 y el 0 no es positivo, concluimos,
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Desigualdades y valor absoluto 6
por P7, que x
no es positivo. Los elementos del conjunto R
D fx
W x 2 RCg, es decir,
los opuestos de los números positivos, se llaman números negativos. Observa que si z 2 R
entonces z
2RC.
1.2 Definición. Para x; y 2 R escribimos x < y (léase x es menor que y) o y > x (léase
y es mayor que x) para indicar que y
x 2 RC, y escribimos x 6 y o y > x para indicar
que y
x 2 RC [ f0g.
Notación. En adelante usaremos las notaciones: RC
o D RC [ f0g, R
o D R
[ f0g y R D
Rn f0g.
1.3 Proposición. Para todo x ¤ 0 se verifica que x
2 > 0. En particular, 1 > 0.
Demostración. Probaremos que si x ¤ 0 entonces x
2 > 0. En efecto, si x ¤ 0 entonces, por
P6, o bien x es positivo o bien x
es positivo. Teniendo en cuenta que, como consecuencia de
(1.1), es x
2 D x x D .x/.x/,
concluimos que x
2
es positivo. En particular, tenemos que
1
2 D 1 > 0. ¡Acabamos de probar que 1 > 0!. 2
Tenemos ahora dos tipos de propiedades en R, las algebraicas P1-P5 y las de orden P6 y
P7. En la siguiente sección estudiamos cómo se relacionan entre sí.
1.2.3. Desigualdades y valor absoluto
Las propiedades del orden de los números reales son las que nos permiten trabajar con
desigualdades. Es muy fácil equivocarse al trabajar con desigualdades. Yo creo que en el bachillerato
no se le da a este tema la importancia que merece. Fíjate que algunos de los conceptos
más importantes del Cálculo se definen mediante desigualdades (por ejemplo, la definición de
sucesión convergente o de límite de una función en un punto). Por ello, tan importante como
saber realizar cálculos más o menos complicados, es aprender a manejar correctamente
desigualdades, y la única manera de hacerlo es con la práctica mediante numerosos ejemplos
concretos. Por supuesto, siempre deben respetarse cuidadosamente las reglas generales que
gobiernan las desigualdades entre números y asegurarse de que se usan correctamente. Aparte
de tales reglas no hay otros métodos generales que nos digan cómo tenemos que proceder en
cada caso particular.
En el siguiente resultado ¡el primer teorema de este curso! se enuncian las propiedades
principales del orden de R. Son las que deberás usar para trabajar con desigualdades.
1.4 Teorema (Reglas para trabajar con desigualdades). Sean x; y; z números reales.
1. x 6 y e y 6 z implican que x 6 z.
2. x 6 y e y 6 x implican que x D y.
3. Se verifica exactamente una de las tres relaciones: x < y, x D y, o y < x:
4. x < y implica que x C z < y C z.
5. x < y , z > 0 implican que xz < y z.
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Desigualdades y valor absoluto 7
6. x < y , z < 0 implican que xz > y z.
7. xy > 0 si, y sólo si, x e y son los dos positivos o los dos negativos. En consecuencia
si x ¤ 0 es x
2 > 0 y, en particular, 1 > 0.
8. z > 0 implica que 1
z
> 0:
9. Supuesto que x e y son los dos positivos o los dos negativos, se verifica que x < y
implica que
1
y
<
1
x
:
Todas estas propiedades son fáciles de probar. Por ejemplo, para probar el punto 5), si
x < y se tiene que y
x > 0. Si ahora es z > 0, también será z.y
x/ > 0, es decir,
zy
zx > 0 o, sea, zx < zy. Lo único que hemos usado aquí ha sido la definición de los
símbolos “<” y “>” y algunas de las propiedades P1-P8. Un estupendo ejercicio para que
compruebes tus habilidades es que demuestres todas las afirmaciones del teorema anterior.
1.2.3.1. La forma correcta de leer las matemáticas
La forma en que están escritos los apartados del teorema anterior no me gusta mucho. Voy
a decirte por qué y para eso voy a tratar aquí un defecto en el que solemos caer al leer o estudiar
matemáticas. Se trata de algo que realizamos de una manera mecánica, y por ello no es fácil de
evitar, y que limita y condiciona mucho el alcance de lo que entendemos y aprendemos. Para
ponerlo de manifiesto vamos a considerar un ejemplo. En uno de los ejercicios al final de esta
sección te propongo que pruebes que la igualdad
1
x
C
1
y
D
1
x C y
(1.1)
nunca es cierta. Bien, supongamos que ya lo has probado. Seguidamente te pido que me digas
cuándo es cierta la igualdad
1
x C y
2
C
1
z
D
1
x C y
2 C z
(1.2)
Tienes 15 segundos para contestar (y sobran 13). ¿Si? ¿No? ¡Son la misma igualdad! Y, aquí
es a dónde yo quería llegar, si no te parecen la misma igualdad es porque estás leyendo los
símbolos y no los conceptos, es porque ¡estás leyendo las letras! Claro, me dirás, las letras
están para leerse. De acuerdo, pero hay que ir siempre al significado de lo que se lee y no
quedarse en la superficie de los símbolos. Los símbolos proporcionan mucha comodidad para
expresar las ideas matemáticas, pero con frecuencia, si no sabemos leer bien su significado,
los símbolos pueden ocultar los conceptos. En el ejemplo anterior, el hecho de que la igualdad
(1.1) sea falsa, se expresa de forma correcta diciendo que “la suma de dos inversos nunca es
igual al inverso de la suma”. Por tanto, la igualdad (1.2) jamás puede darse pues es la misma
igualdad (1.1) en la que se ha sustituido x por x C y
2
e y por z. Pero tanto x como x C y
2
son números reales cualesquiera e igual ocurre con z e y. ¿Te das cuenta del problema? No es
igual retener la idea de que “1 dividido por x más 1 dividido por y nunca es igual a 1 dividido
por x C y” que asimilar que “la suma de dos inversos nunca es igual al inverso de la suma”.
En el primer caso los símbolos x e y tienen un protagonismo que no les corresponde, ocultan
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Desigualdades y valor absoluto 8
el concepto: si te fijas demasiado en ellos no sabrás reconocer que (1.2) y (1.1) son la misma
cosa.
Esto que acabamos de ver ocurre en muchas situaciones. Por ejemplo, la mayoría de los
libros de texto enuncian el teorema de Bolzano como sigue.
Sea f W Œa; b ! R continua y verificando que f .a/f .b/ < 0. Entonces hay algún
c 2 a; bŒ tal que f .c/ D 0.
Demasiadas letras f , a, b, c, demasiadas precisiones que lo que hacen es confundir y ocultar
el resultado. La forma correcta de leer el enunciado anterior es: “toda función continua en un
intervalo que toma valores positivos y negativos se anula en algún punto de dicho intervalo”.
Los teoremas deben enunciarse así, a ser posible sin símbolos. Yo procuro hacerlo siempre
que el resultado lo permite. No lo he hecho en el teorema (1.4) porque quiero que lo hagas
tú. Por ejemplo, la propiedad 5) de dicho teorema debe leerse (y escribirse) en la forma: “una
desigualdad se conserva al multiplicarla por un número positivo”.
~ 1.5 Estrategia. Traduce los símbolos en conceptos. Cuando leas matemáticas presta atención
a los conceptos y no retengas símbolos concretos.
1.6 Definición. Se dice que un conjunto no vacío de números reales, A R, tiene máximo si
hay un número M 2 A que es el mayor de todos los elementos de A, es decir, x 6 M para
todo x 2 A. Cuando esto ocurre, escribimos M D maxK A. Se dice que un conjunto no vacío
de números reales, A R, tiene mínimo si hay un número m2A que es el menor de todos los
elementos de A, es decir, m 6 x para todo x 2 A. Cuando esto ocurre, escribimos m D mKın A.
Valor absoluto
El valor absoluto de un número x 2R se define como el número:
jx j D
x si x > 0
x
si x 6 0
Para trabajar con valores absolutos es útil recordar la siguiente definición.
1.7 Definición. 2
. Para cada número z 2RC
o
, representamos por p
z al único número mayor o
igual que cero cuyo cuadrado es igual a z.
1.2.3.2. Una función aparentemente caprichosa
Acabamos de definir la función “raíz cuadrada”. Ahora te propongo un juego: voy a hacerte
una pregunta que tú vas a responder de forma inmediata diciendo lo primero que se te ocurre.
La pregunta es la siguiente: dime el valor de p
x
2. Por experiencia sé que la mayoría de las
veces la respuesta es x. Pues si esa ha sido tu respuesta te equivocas. Vuelve a leer la definición
anterior y responde ahora de forma meditada. Confío en que ya tengas la respuesta correcta que
es jxj. En efecto, se tiene que jxj
2 D x
2 y, además, jxj > 0, por tanto jx j D p
x
2.
2Con las herramientas que ahora tenemos no podemos probar la existencia de raíces cuadradas
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Desigualdades y valor absoluto 9
Sé por experiencia que muchos estudiantes tienen la idea de que la raíz cuadrada de un
número real positivo es unas veces positiva y otras veces negativa y muchos creen que puede
tomar los dos valores y, en este caso, deben pensar que p
x
2 D fx; xg.
Cosas más
raras se han visto. Toda esta “magia” lleva a situaciones bastante extrañas. Por ejemplo, es
sabido que la distancia euclídea entre dos puntos
p
.a; b/ y .c; d/ del plano viene dada por
.a
c/
2 C .b
d/
2. En particular, la distancia entre los puntos .a; b/ D .1; 2/ y .c; d/ D
.1; 3/ es p
.1
1/
2 C .2
3/
2 D
p
.1/
2 D 1.
¿Una distancia negativa? No, la raíz cuadrada
no es una función caprichosa y su definición no deja lugar a dudas: la raíz cuadrada de
un número positivo es también un número positivo.
¿Sabes de dónde procede esta confusión tan extendida? Pues viene de muy atrás, de cuando
en la escuela se aprende (¿realmente se aprende?) a resolver la ecuación de segundo grado
ax2 C bx C c D 0 cuyas soluciones son los números
b
˙
p
b
2
4ac
2a
(1.3)
Ahí está el problema: en el confuso símbolo ˙ delante de la raíz. Es eso lo que lleva a muchos
a pensar que las raíces cuadradas pueden tomar dos valores: uno positivo, que corresponde a la
elección del sigo C, y otro negativo que corresponde a la elección del signo
en la expresión
(1.3). Lo más lamentable es que toda esta confusión no es más que producto de la pereza. Verás,
cuando se aprende a resolver la ecuación de segundo grado ax2 C bx C c D 0 (¿realmente se
aprende?) se obtienen las soluciones
b
C
p
b
2
4ac
2a
;
b

p
b
2
4ac
2a
Como esto es largo de escribir en la pizarra, los profesores, por pereza, resumen las soluciones
obtenidas en la expresión única (1.3). Eso explica cosas bastante incomprensibles como, por
ejemplo, escribir C
p
3 ¿acaso escribes +7? No, sabes que 7 es un número positivo y parece
totalmente improcedente escribir C7. Entonces, ¿por qué escribir C
p
p
3? Respuesta, porque
3 es caprichoso: unas veces puede ser positivo y otras negativo. A esta forma de pensar se le
llama magia matemática, está bastante más extendida de lo que puedes creer y no solamente
entre estudiantes. Confío en que te haya quedado claro sin lugar a dudas que p
x
2 D jxj y que
la raíz cuadrada no es una función caprichosa.
La utilidad de la raíz cuadrada para trabajar con valores absolutos procede de la siguiente
estrategia de procedimiento.
1.8 Estrategia. a) Para probar que dos números positivos son iguales es suficiente probar
que sus cuadrados son iguales.
b) Para probar una desigualdad entre dos número positivos es suficiente probar dicha desigualdad
para sus cuadrados.
El enunciado anterior está hecho como a mi me gusta: con palabras y sin símbolos. Poniendo
símbolos, lo que se dice en el enunciado es que:
Dados a; b 2 RC
o
para probar que a D b es suficiente probar que a
2 D b
2 ~ y
para probar que a < b es suficiente probar que a
2 < b
2
.
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Ejercicios propuestos 10
Todo lo dicho es consecuencia de que b
2
a
2 D .b
a/.b C a/ y se tiene que b C a > 0.
Geométricamente, jxj representa la distancia de x al origen, 0, en la recta real. De manera más
general:
jx
yj D distancia entre x e y
representa la longitud del segmento de extremos x e y.
1.9 Teorema (Propiedades del valor absoluto). Para x; y 2 R se verifica que:
i) jxj 6 y es equivalente a y
6 x 6 y.
ii) jx yj D jxjjyj.
iii) jx C yj 6 jxj C jyj y la igualdad se da si, y sólo si, xy > 0 desigualdad triangular.
iv) jjxj
jyjj 6 jx
yj y la igualdad se da si, y sólo si, xy > 0.
Demostración. La primera afirmación es consecuencia inmediata de la definición de valor
absoluto. Para probar ii), iii) y iv) usaremos la estrategia (1.8).
ii) Tenemos que jxyj
2 D .xy/
2 D x
2y
2 D jxj
2
jyj
2 D .jxjjyj/
2
.
iii) Tenemos que
jx C yj
2 D .xCy/
2 D x
2C2xyCy
2 D jxj
2C2xyCjyj
2 6 jxj
2C2jxyjCjyj
2 D .jxjCjyj/
2
La igualdad se da si, y sólo si, xy D jxyj, es decir, xy > 0.
iv) Tenemos que
jjxj
jyjj2 D x
2
2jxyj C y
2 6 x
2
2xy C y
2 D .x
y/
2 D jx
yj
2
La igualdad se da si, y sólo si, xy D jxyj, es decir, xy > 0. 2
Te recuerdo que debes leer de forma correcta las propiedades anteriores: no te fijes en las letras
sino en los conceptos. La propiedad ii) debes leerla “el valor absoluto de un producto es igual
al producto de los valores absolutos”. Por su parte, la desigualdad triangular dice dos cosas:
i) El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos.
ii) El valor absoluto de una suma es igual a la suma de los valores absolutos si, y sólo si,
todos los sumandos son positivos o todos todos los sumandos son negativos.
1.2.4. Ejercicios propuestos
1. ¿Sabes por qué no se puede dividir por 0?
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Ejercicios propuestos 11
2. ¿Qué quiere decir que un número no es racional? Demuestra que p
2 no es racional.
3. Sabiendo que a C b > c C d; a > b; c > dI ¿se verifica necesariamente alguna de las
desigualdades: a > c; a > d; b > c o b > d ? Dar una prueba o un contraejemplo en
cada caso.
4. Sea x un número real. Estudia si cada una de las desigualdades
x
2 < x y x
3 < x
2
es consecuencia de la otra.
5. Calcula para qué valores de x se verifican las desigualdades siguientes.
i)
2x
3
x C 2
<
1
3
ii)
1
x
C
1
1
x
> 0
iii) x
2
5x C 9 > x iv) x
3
.x
2/.x C 3/
2 < 0
v) x
2
.a C b/x C ab < 0 vi) 3.x
a/a
2 < x
3
a
3 < 3.x
a/x
2
6. Prueba las siguientes desigualdades:
a) 0 < x C y
x y < 1 siempre que 0 < x < 1; 0 < y < 1:
b)
1
x
C
1
a C b
x
<
1
a
C
1
b
siempre que 0 < a < x < b:
7. Prueba que cualesquiera sean los números reales positivos a > 0 y b > 0 se verifica que
a
2.a C b/
p
b
<
1
p
b

1
p
a C b
8. Calcula para qué valores de x se verifican las siguientes desigualdades.
i) jx
5j < jx C 1j ii) jx
1jjx C 2j D 3
iii) jx
2
xj > 1 iv) jx
y C zj D jxj
jz
yj
v) jx
1j C jx C 1j < 1 vi) jx C y C zj D jx C yj C jzj
vii) jxj
jyj D jx
yj viii) jx C 1j < jx C 3j
9. Supuesto que
s
t
<
u
v
<
x
y
donde t; v; y 2 RC, prueba que s
t
<
s C u C x
t C v C y
<
x
y
.
Generaliza este resultado.
10. Prueba cada una de las siguientes desigualdades y estudia, en cada caso, cuándo se da la
igualdad.
a) 2x y 6 x
2 C y
2
:
b) 4x y 6 .x C y/
2
:
c) x
2 C x y C y
2 > 0:
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Ejercicios resueltos 12
d) .a
2 C a C 1/.b
2 C b C 1/.c
2 C c C 1/ > 27abc donde a > 0; b > 0; c > 0.
Sugerencia. Para probar a) considérese .x
y/
2
. Las demás desigualdades pueden deducirse
de a).
11. Demuestra todos los apartados del teorema (1.4) y enúncialos con palabras.
12. Sean x e y números distintos de cero. Prueba que las igualdades
1
x C y
D
1
x
C
1
y
;
q
x
2 C y
2 D x C y
son falsas.
13. Comprueba que
.x C 1/
1
2
.2x C 1/
2 D

x
1
2
.2x C 1/
2
. Por tanto, extrayendo
raíces cuadradas, se deduce que .x C1/
1
2
.2x C1/ D x
1
2
.2x C1/, esto es x D x C1
y, por tanto, 0 D 1. ¿Dónde está el error?
14. Calcula los números reales x que verifican cada una de las igualdades
p
x C 1
p
x
1 D 2;
1
p
x
2

1
p
x
D
2
3
Comprueba las soluciones obtenidas.
15. Prueba que jxj C jyj C jzj 6 jx C y
zj C jx
y C zj C jx
C y C zj.
16. Prueba que si m es un números natural que no es el cuadrado de ningún número natural,
es decir, m ¤ n
2 para todo n 2 N, entonces se verifica que p
m es un número real no
racional.
Sugerencia. Usa la descomposición de m en factores primos.
17. Justifica las siguientes afirmaciones.
a) La suma de un número racional y un número irracional es un número irracional.
b) El producto de un número racional no cero por un número irracional es un número
irracional.
c) La suma y el producto de dos números irracionales puede ser racional o irracional.
d) Los números p
2 C
p
3,
p
6
p
2
p
3 y
p
5 C 2
3
p
5 C 4
son irracionales.
1.2.5. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 1 ¿Sabes por qué no se puede dividir por 0?
Solución. Si se pudiera dividir por 0, es decir, si hubiera un número que fuera el inverso
del 0, su producto por 0 habría de ser igual a 1, pero ya sabemos que al multiplicar por 0
el resultado es siempre 0. Conclusión: si se pudiera dividir por cero habría de ser 1 D 0,
lo cual es falso. ©
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Ejercicios resueltos 13
Ejercicio resuelto 2 ¿Qué quiere decir que un número no es racional? Demuestra que p
2 no
es racional.
Solución. Que un número no es racional quiere decir que no puede escribirse como
cociente de números enteros. Para probar que un número es irracional suele razonarse por
contradicción: se supone que el número en cuestión es racional y se llega a una situación
contradictoria. Una prueba clásica de que p
2 es irracional es como sigue. Supongamos
que p
2 fuera racional. Entonces existirán números naturales m y n sin factores comunes,
en particular m y n no podrán ser ambos pares, tales que p
2 D
m
n
, esto es, 2n2 D
m2
. La igualdad 2n2 D m2 nos dice que m2
es par lo cual implica que también tiene
que serlo m. Así podemos escribir m D 2p . Sustituyendo en la igualdad anterior y
simplificando tenemos que n
2 D 2p2
, y de aquí se sigue, al igual que antes, que n tiene
que ser par y ésta es la contradicción anunciada. ©
Ejercicio resuelto 3 Calcula para qué valores de x se verifica que 2x
3
x C 2
<
1
3
.
Solución. Claro está, x ¤ 2
(recuerda, no se puede dividir por 0). Como al multiplicar
una desigualdad por un número positivo la desigualdad se conserva, deducimos que si
x > 2,
la desigualdad dada equivale a 6x
9 < x C 2, es decir, x < 11=5. Luego
para 2
< x < 11=5 la desigualdad es cierta. Veamos ahora qué pasa si x < 2.
En tal
caso, al multiplicar por x C 2 < 0 la desigualdad equivale a 6x
9 > x C 2, es decir,
x > 11=5 condición que no puede darse si x C 2 < 0. En resumen, la desigualdad es
cierta para 2
< x < 11=5.
Otra forma de proceder consiste en utilizar el hecho de que una desigualdad es equivalente
a la obtenida al multiplicarla por una cantidad positiva. Multiplicando la desigualdad
dada por .x C 2/
2 obtenemos que dicha desigualdad equivale a la siguiente
.2x
3/.x C 2/ < 1
3
.x C 2/
2
Haciendo las operaciones indicadas obtenemos que esta desigualdad es lo mismo que
5x2
x
22 < 0. Las soluciones de la ecuación 5x2
x
22 D 0 son a D 2
y
b D 11=5. Por tanto, 5x2 x
22
D 5.x C2/.x 11=5/.
Resulta así que la desigualdad
dada equivale a .x C 2/.x
11=5/ < 0. Teniendo en cuenta que para que un producto
de dos números sea negativo dichos números deben ser uno positivo y otro negativo,
concluimos que debe ser x C 2 > 0 y x
11=5 < 0, es decir 2
< x < 11=5 (la otra
posibilidad x C 2 < 0 y x
11=5 > 0 no puede darse). ©
Ejercicio resuelto 4 Calcula para qué valores de x se verifica que
3.x
a/a
2 < x
3
a
3 < 3.x
a/x
2
Solución. La desigualdad del enunciado equivale a las siguientes dos desigualdades:
x
3
a
3
3.x
a/a
2 > 0I x
3
a
3
3.x
a/x
2 < 0
Teniendo en cuenta que x
3
a
3 D .x
a/.x
2 C ax C a
2
/, resulta
x
3
a
3
3.x
a/a
2 D .x
a/.x
2 C ax
2a2
/ D .x
a/
2
.x C 2a/
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Ejercicios resueltos 14
x
3
a
3
3.x
a/x
2 D .x
a/.2x2
C ax C a
2
/ D 2.x

a/
2
.x C a=2/
Deducimos que la desigualdad del enunciado se verifica si, y sólo si, x ¤ a, x C2a > 0,
y x C a=2 > 0.
Si a > 0 entonces xC2a > xCa=2 y la desigualdad se cumple si, y sólo si, x > a=2
y x ¤ a.
Si a < 0 entonces xCa=2 > xC2a y la desigualdad se cumple si, y sólo si, x > 2a.
©
Ejercicio resuelto 5 Sabiendo que aCb > cCd; a > b; c > d; ¿se verifica necesariamente
alguna de las desigualdades: a > c; a > d; b > c o b > d ? Dar una prueba o un
contraejemplo en cada caso.
Solución. Que las letras no te despisten: lo que te están diciendo es que si la suma de
dos números distintos entre sí es mayor que la suma de otros dos números distintos entre
sí, ¿es cierto, por ejemplo, que el mayor del primer par es más grande que el mayor
del segundo par? Está claro que no tiene por qué ser así: los otros sumandos pueden
compensar la diferencia. Por ejemplo 252 C 250 > 500 C 1. Concluimos que no tiene
por qué ser cierto que a > c ni tampoco b > c. El ejemplo 500 C 2 > 251 C 250
prueba que tampoco tiene por qué ser b > d. Intenta ahora buscar un ejemplo en el que
no se cumpla que a > d (pero no le dediques más de cinco minutos). ¿Ya? No lo habrás
encontrado porque, si lo piensas un poco, verás que tiene que ser necesariamente a > d.
Intenta demostrarlo (aunque tengas que dedicarle más de cinco minutos).
Lo primero que se le ocurre a uno es escribir a > .c
b/ C d. Si c
b fuera siempre
positivo habríamos acabado (y también habríamos demostrado más de lo que queremos),
pero no tiene por qué ser así, por ejemplo 9 C 8 > 2 C 1. La demostración directa no
parece viable. En estos casos tenemos que intentar un camino indirecto. Probemos que
no puede ocurrir que a 6 d. Eso es fácil. Fíjate: si fuera a 6 d, como nos dicen que
b < a y d < c, también sería b < d y a < c; pero entonces a C b < c C d lo que es
contrario a la hipótesis hecha. Luego concluimos que a > d. ©
Ejercicio resuelto 6 Supuesto que 0 < a < x < b, prueba que se verifica la siguiente
desigualdad.
1
x
C
1
a C b
x
<
1
a
C
1
b
Solución. En este ejercicio no parece, en principio, cosa fácil deducir la desigualdad
pedida de las hipótesis que nos dan. En estos casos puede intentarse trabajar para atrás,
es decir, ir convirtiendo la desigualdad que nos piden probar en otras equivalentes a ella
y más sencillas, hasta llegar a una que seamos capaces de deducir de la hipótesis que nos
dan. Haciendo las operaciones indicadas, podemos escribir la desigualdad en la forma
a C b
x.a C b
x/
<
a C b
a b
y, como los denominadores son positivos, esto es lo mismo que
.a C b/a b < .a C b/x.a C b
x/
Como a C b > 0 esta desigualdad equivale a ab < x.a C b
x/, es decir:
0 < ax C bx
x
2
ab D .x
a/.b
x/
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Ejercicios resueltos 15
Pero esta última desigualdad es consecuencia de que la hipótesis hecha, 0 < a < x < b,
la cual implica que 0 < x
a y 0 < b
x. Y por tanto .x
a/.b
x/ > 0.
Con esto podemos considerar que hemos acabado, pero es una buena costumbre dar ahora
la vuelta al razonamiento que hemos seguido, es decir, deshacer el camino recorrido para
obtener una prueba directa. ©
Ejercicio resuelto 7 Discutir la validez de las igualdades:
a) jx C y C zj D jx C yj C jzj
b) jx
5j < jx C 1j
Solución. a) En virtud de la desigualdad triangular, la igualdad del enunciado
jx C y C zj D j.x C y/ C zj D jx C yj C jzj, se da si, y sólo si, .x C y/z > 0.
b) En virtud de la estrategia (1.8), la desigualdad jx
5j < jx C 1j equivale a la
desigualdad jx
5j
2 < jx C 1j
2
, es decir,
x
2
10x C 25 < x
2 C 2x C 1
o sea, 24 < 12x, esto es, x > 2. Esto también puedes comprobarlo representando los
números en una recta en la que fijas un origen y una unidad: se trata de ver cuándo x está
más cerca de 5 que de 1.
©
Ejercicio resuelto 8 Lo que sigue es una generalización del ejercicio propuesto (9).
Sean a1; a2; : : : ; an números reales cualesquiera y b1; b2 : : : ; bn números reales positivos.
Sean m y M el menor y el mayor respectivamente de los números
a1
b1
;
a2
b2
; ;
an
bn
:
Entonces, para j D 1; 2; : : : ; n, se verifica que:
m 6
aj
bj
6 M; es decir; mbj 6 aj 6 M bj
y sumando estas desigualdades:
m
Xn
jD1
bj 6
Xn
jD1
aj 6 M
Xn
jD1
bj ;
de donde se sigue que:
m 6
a1 C a2 C C an
b1 C b2 C C bn
6 M:
©
Ejercicio resuelto 9 Prueba cada una de las siguientes desigualdades y estudia, en cada caso,
cuándo se da la igualdad.
i) 2xy 6 x
2 C y
2
:
ii) 4xy 6 .x C y/
2
:
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Ejercicios resueltos 16
iii) x
2 C xy C y
2 > 0:
iv) .a
2 C a C 1/.b
2 C b C 1/.c
2 C c C 1/ > 27abc donde a > 0; b > 0; c > 0.
v) abc 6 1 donde a > 0; b > 0; c > 0 verifican .1 C a
2
/.1 C b
2
/.1 C c
2
/ D 8.
Sugerencia: para probar i) considérese .x
y/
2
. Las demás desigualdades pueden deducirse
de i).
Solución.
i) y ii) Siguiendo la sugerencia, que para eso nos la dan, tenemos que
.x
y/
2 D x
2 C y
2
2xy > 0
de donde se deduce que 2x y 6 x
2 C y
2
, y la igualdad ocurre si, y sólo si, x D y.
Si sumas 2xy a ambos lados de la desigualdad 2x y 6 x
2 C y
2
, obtienes que
4x y 6 .x C y/
2
, y la igualdad ocurre si, y sólo si, x D y.
iii) Cambiando x por x
en 2x y 6 x
2 C y
2
resulta 2x y > .x
2 C y
2
/. Por tanto
x
2 C x y C y
2 >
1
2
.x
2 C y
2
/
De donde se deduce que x
2 C x y C y
2 > 0 y la igualdad se da si, y sólo si,
x D y D 0.
iv) Probaremos ahora la desigualdad .a
2 C a C 1/.b
2 C b C 1/.c
2 C c C 1/ > 27abc
donde se supone que a > 0; b > 0; c > 0. Lo primero que se observa es la completa
simetría de la desigualdad propuesta. Puesto que lo único que sabemos de a, b y c
es que son positivos, parece razonable pensar que si la desigualdad que nos dan es
cierta es porque x
2 C x C 1 > 3x cualquiera sea x > 0, es decir, x
2 C 1 > 2x, o lo
que es igual .x
1/
2 > 0; lo que es cierto (para todonúmero x) y la igualdad se da
si, y solo si x D 1. Sustituyendo ahora en x
2 C x C 1 > 3x, x D a, x D b, x D c
y multiplicando miembro a miembro las tres desigualdades resultantes, obtenemos
que
.a
2 C a C 1/.b
2 C b C 1/.c
2 C c C 1/ > 27abc
y la igualdad se da si, y sólo si, a D b D c D 1. ¿Dónde hemos usado que los
números a, b y c son positivos?
v) La última desigualdad propuesta también llama la atención por su simetría. Usando
otra vez que 0 6 .x
1/
2
, se sigue que 2x 6 1C x
2
. Ahora sustituyes x por a, b y
c, multiplicas miembro a miembro las desigualdades obtenidas y has acabado. ©
Fíjate cuánto partido hemos sacado de la desigualdad elemental .x
y/
2 > 0.
Ejercicio resuelto 10 Prueba que el número p
2 C
p
3 es irracional.
Solución. Para hacer el ejercicio propuesto (17) hay que tener en cuenta que cuando se
efectúan operaciones racionales (suma, producto y cociente) sobre uno o varios números
racionales volvemos a obtener un número racional. En consecuencia, si realizando con
un número real ˛ y con otros números racionales operaciones racionales obtenemos un
número irracional, podemos afirmar que el número ˛ es irracional.
Por ejemplo, ˛ D
p
2 C
p
3 es irracional pues
˛
2
5
2
D
p
6. ©
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Principio de inducción matemática 17
1.3. Principio de inducción matemática
El Principio de inducción matemática es un método que se usa para probar que ciertas
propiedades matemáticas se verifican para todo número natural. Considera, por ejemplo, la
siguiente igualdad en la que n2N:
1
2 C 2
2 C 3
2 C C n
2 D
1
6
n.n C 1/.2n C 1/ (1.4)
Si le damos a n un valor, por ejemplo n D 8, podemos comprobar fácilmente que la igualdad
correspondiente es cierta. Si le damos a n el valor 1000 ya no es tan fácil comprobar esa
igualdad y se le damos a n el valor 101000 la cosa ya se pone realmente difícil. Pero nosotros
queremos aún más, no nos conformamos con probar que esa igualdad es cierta para unos
cuantos miles o millones de valores de n; no, queremos probar que es válida para todo número
natural n. En estos casos es el Principio de inducción matemática el que viene en nuestra ayuda
para salvarnos del apuro. Para nosotros el principio de inducción matemática es algo que aceptamos,
es decir, puedes considerarlo como un axioma de la teoría que estamos desarrollando
(aunque su formulación lo hace “casi evidente”).
Principio de inducción matemática. Sea A un conjunto de números naturales, A N, y
supongamos que:
i) 12A
ii) Siempre que un número n está en A se verifica que n C 1 también está en A.
Entonces A D N.
El Principio de Inducción Matemática es la herramienta básica para probar que una cierta
propiedad P.n/ es verificada por todos los números naturales. Para ello se procede de la
siguiente forma:
A) Comprobamos que el número 1 satisface la propiedad, esto es, que P.1/ es cierta.
B) Comprobamos que si un número n satisface la propiedad, entonces también el número
n C 1 la satisface. Es decir comprobamos que si P.n/ es cierta, entonces también lo es
P.n C 1/.
Si ahora definimos el conjunto M D fn 2 N W P.n/ es ciertag, entonces el punto A) nos dice
que 12M , y el punto B) nos dice que siempre que n está en M se verifica que n C 1 también
está en M . Concluimos, por el principio de inducción, que M D N, o sea, que P.n/ es cierta
para todo número natural n.
Observa que en B) no se dice que se tenga que probar que P.n/ es cierta, sino que hay que
demostrar la implicación lógica P.n/÷P.n C 1/. Para demostrar dicha implicación lo que
hacemos es suponer que P.n/ es cierta. Es por eso que suele llamarse a P.n/ la hipótesis de
inducción.
Puedes imaginar el principio de inducción de la siguiente forma. Considera que cada nú-
mero natural lo representamos por una ficha de dominó y las colocamos en una fila recta interminable.
Seguidamente empujamos a la primera ficha sobre la siguiente (esto es el punto A)
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Principio de inducción matemática 18
anterior: cae la primera ficha). ¿Caerán todas? Para eso debemos de estar seguros de que siempre
que cae una ficha tira a la que le sigue, es decir que la distancia entre dos fichas cualesquiera
es menor que la longitud de una ficha (esto es el punto B) anterior: si cae la ficha n también cae
la n C 1). Cuando esto es así podemos asegurar que caerán todas las fichas. Probemos, como
ejemplo, la igualdad (1.4).
1.10 Ejemplo. Para todo número natural n2N se verifica la igualdad
1
2 C 2
2 C 3
2 C C n
2 D
1
6
n.n C 1/.2n C 1/
Demostración. Para n D 1 la igualdad se reduce a 1 D 1 que, evidentemente, es cierta. Acaba
de caer la primera ficha del dominó. Supongamos que dicha igualdad se verifica para un número
n2N (acaba de caer la ficha n del dominó) y probemos que en tal caso también se verifica para
nC 1 (hay que probar que al caer la ficha n tira a la ficha nC 1). Que la ficha n cae quiere decir
que
1
2 C 2
2 C 3
2 C C n
2 D
1
6
n.n C 1/.2n C 1/ (1.5)
Para que al caer la ficha n también caiga la ficha n C 1, deberemos probar que de la igualdad
anterior se deduce la siguiente igualdad.
1
2 C 2
2 C 3
2 C C n
2 C .n C 1/
2 D
1
6
.n C 1/.n C 2/.2.n C 1/ C 1/ (1.6)
Tenemos que
1
2 C 2
2 C 3
2 C C n
2 C .n C 1/
2 D por (1.5) D
1
6
n.n C 1/.2n C 1/ C .n C 1/
2 D
D
1
6
.n C 1/

n.2n C 1/ C 6.n C 1/

D
D
1
6
.n C 1/.2n2 C 7n C 6/ D
D
1
6
.n C 1/.n C 2/.2n C 3/
Que es justamente la igualdad (1.6). Concluimos, en virtud del principio de inducción, que la
igualdad del enunciado es cierta para todo n2N.
La demostración del siguiente lema es otro ejemplo del principio de inducción.
1.11 Lema. Si el producto de n números positivos es igual a 1, entonces su suma es mayor o
igual que n. Y la suma es igual a n si, y sólo si, todos ellos son iguales a 1.
Demostración. Para cada número natural n, sea P.n/ la proposición “si el producto de n
números positivos es igual a 1, entonces su suma es mayor o igual que n”. Demostraremos
por inducción que P.n/ es verdadera para todo n 2 N. Trivialmente P.1/ es verdadera.
Supongamos que P.n/ es verdadera. Consideremos n C 1 números positivos no todos iguales
a 1 cuyo producto sea igual a 1. En tal caso alguno de dichos números, llamémosle x1, tiene
que ser menor que 1 y otro, al que llamaremos x2, tiene que ser mayor que 1. Notando
x3; ; xnC1 los restantes números se tiene que:
.x1x2/x3 xnC1 D 1
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Principio de inducción matemática 19
Por tanto x1x2; x3; ; xnC1 son n números positivos con producto igual a 1 por lo que:
x1x2 C x3 C C xnC1 > n (1.7)
Como 0 < .1
x1/.x2
1/, tenemos que:
x1 C x2 > 1 C x1x2 (1.8)
De (1.71) y (1.8) se sigue que:
x1 C x2 C x3 C C xnC1 > n C 1
Observa que la desigualdad obtenida es estricta. Hemos probado así que P.nC1/ es verdadera.
Concluimos, por el principio de inducción, que la afirmación del enunciado es verdadera para
todo número natural n. 2
Notación. Dados n números a1; a2; ; an representamos la suma de todos ellos por Xn
jD1
aj y
el producto de todos ellos por Yn
jD1
aj .
En el siguiente teorema se establece una de las desigualdades más útiles del Cálculo.
1.12 Teorema (Desigualdad de las medias). Cualesquiera sean los números positivos
a1; a2; ; an se verifica que:
pn a1a2 an 6
a1 C a2 C C an
n
(1.9)
Y la igualdad se da si, y sólo si, a1 D a2 D D an.
Demostración. Basta poner G D
pn a1a2 an y xi D
ai
G
; 1 6 i 6 n, Claramente se verifica
que x1x2 xn D 1 por lo que, en virtud del lema anterior, Xn
iD1
xi > n es decir Xn
iD1
ai > nG
que es la desigualdad que queremos probar. Se da la igualdad solamente cuando xi D 1; para
i D 1; 2; : : : ; n, es decir, cuando a1 D a2 D D an. 2
Los números pn a1a2 an y
a1 C a2 C C an
n
se llaman, respectivamente, medias geométrica
y aritmética de a1; a2; ; an. La desigualdad de las medias tiene interesantes aplicaciones
a problemas de extremos. Una útil consecuencia de ella se expone a continuación.
1.13 Corolario. Sean fi
; 1 6 i 6 n; funciones positivas definidas en un conjunto A R y
supongamos que en un punto a 2 A se verifica que f1.a/ D f2.a/ D D fn.a/.
i) Si el producto de las funciones es constante, se verifica que
Xn
iD1
fi.a/ 6
Xn
iD1
fi.x/ para todo x 2A:
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Principio de inducción matemática 20
ii) Si la suma de las funciones es constante, se verifica que:
Yn
iD1
fi.x/ 6
Yn
iD1
fi.a/ para todo x 2A:
Demostración. Lo afirmado en i) y ii) es consecuencia directa de que, para todo x 2 A se
verifica
n
p
Yn
iD1
fi.x/ 6
Xn
iD1
fi.x/
n
y se da la igualdad si, y sólo si, los números f1.x/; f2.x/; ; fn.x/ son todos iguales. 2
¿Has leído correctamente el corolario anterior? Te voy a ayudar. Lo que dice es lo siguiente.
i) La suma de funciones positivas cuyo producto es constante alcanza su valor mínimo en
cualquier punto en el que dichas funciones sean todas iguales.
ii) El producto de funciones positivas cuya suma es constante alcanza su valor máximo en
cualquier punto en el que dichas funciones sean todas iguales.
El principio de inducción matemática puede aplicarse en muchas situaciones en las que, a
primera vista, no aparecen para nada los números naturales. Por ejemplo, una proposición referente
a todos los polinomios podría probarse por inducción sobre el grado del polinomio. Un
teorema sobre matrices cuadradas podría probarse por inducción sobre el orden de la matriz.
Probaremos a continuación una útil igualdad algebraica conocida como fórmula del binomio
de Newton. Para establecer esta igualdad necesitamos definir los llamados coeficientes
binómicos. Dados dos números enteros n > k > 0 se define:

n
k

D
n!
k!.n
k/!
donde n! D
Yn
pD1
p
Es decir, n! es el producto de todos los números naturales menores o iguales que n. Se define
también 0! D 1. La igualdad

n
k
1

C

n
k

D

n C 1
k

.1 6 k 6 n/ (1.10)
es de comprobación inmediata. A partir de ella se prueba fácilmente, por inducción sobre n,
que
n
k

es un número entero positivo.
1.14 Teorema (Fórmula del binomio de Newton). Cualesquiera sean los números reales
a; b y el número natural n se verifica que:
.a C b/
n D
Xn
kD0

n
k

a
nk
b
k
:
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Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 21
Demostración. Para n D 1 la igualdad del enunciado es trivialmente verdadera. Supongamos
que dicha igualdad se verifica para n 2 N. Entonces:
.a C b/
nC1 D .a C b/.a C b/
n D .a C b/
"Xn
kD0

n
k

a
nk
b
k
#
D
Xn
kD0

n
k

a
nC1k
b
k C
Xn
kD0

n
k

a
nk
b
kC1 D
D
Xn
kD0

n
k

a
nC1k
b
k C
nX
C1
kD1

n
k
1

a
nC1k
b
k
D a
nC1 C b
nC1 C
Xn
kD1
n
k

C

n
k
1
a
nC1k
b
k D
D
nX
C1
kD0

n C 1
k

a
nC1k
b
k
Lo que prueba la validez de la igualdad para n C 1. En virtud del principio de inducción,
concluimos que la igualdad del enunciado es cierta para todo n2N. 2
La inducción matemática es un proceso demostrativo
Considera la expresión 991n2 C 1. Con un ordenador puedes comprobar que si evalúas
esta expresión para n D 1; 2; 3; : : : ; 1000; : : : ; 100000 los valores obtenidos no son cuadrados
perfectos. ¿Debemos concluir que para todo número natural n se verifica que 991n2 C 1 no
es un cuadrado perfecto? Pues no. Entre los números de la forma 991n2 C 1 hay cuadrados
perfectos. . . ¡el valor mínimo de n para el cual 991n2 C 1 es un cuadrado es el número n D
12055735790331359447442538767 !
Con eso te indico que hay que ser precavido: no basta comprobar la veracidad de una
expresión para unos cuantos valores de n para concluir que dicha expresión es cierta para todo
n. La historia de las matemáticas está llena de este tipo de errores.
1.3.1. Ejercicios propuestos
18. Prueba, usando el principio de inducción, que las siguientes afirmaciones son ciertas para
todo n2N.
a) 3
n
1 es divisible por 2.
b) n
3 C 5n es múltiplo de 6.
c) 3
2n
1 es múltiplo de 8.
d) n
5
n es divisible por 5.
e) n
3
n C 1 no es divisible por 3.
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Ejercicios propuestos 22
19. Dado un número x ¤ 1, prueba por inducción la fórmula para la suma de una progresión
geométrica:
1 C x C x
2 C x
3 C C x
n D
x
nC1
1
x
1
Deduce directamente este mismo resultado poniendo S D 1 C x C x
2 C x
3 C C x
n
,
multiplicando S por x y despejando S entre las dos igualdades obtenidas.
20. Prueba, usando el principio de inducción, que para todo n2N se verifica la igualdad
1 C
1
1 3
C
1
3 5
C
1
5 7
C C
1
.2n
1/.2n C 1/
D
n
2n C 1
21. Prueba, usando el principio de inducción, que para todo n2 N se verifican las desigualdades
siguientes.
a) p
n 6 1 C
1
p
2
C
1
p
3
C C
1
p
n
6 2
p
n
b) 1 C
1
2
C
1
3
C
1
4
C C
1
2
n
> 1 C
n
2
c) 1 3 5 .2n
1/
2 4 6 .2n/
6
1
p
1 C 3n
22. Demuestra que cualquier conjunto de número reales, con un número finito de elementos,
tiene máximo y mínimo.
23. Demuestra que si la igualdad
2 C 4 C 6 C C 2n D n
2 C n C 2
es verdadera para un número natural n > 2 también lo es para n
1. Sin embargo, esta
igualdad no es válida para n D 1. ¿Qué deduces de esto?
24. Prueba que, usando solamente dos colores, es posible colorear todas las regiones que se
forman al trazar n circunferencias en el plano de forma que regiones adyacentes tengan
distinto color. Se entiende que dos regiones son adyacentes cuando tienen un arco de
circunferencia como frontera común.
Sugerencia. Puede hacerse razonando por inducción sobre n. También hay otra forma de
hacerlo directamente muy sencilla e ingeniosa.
25. Vamos a probar que todas las niñas tienen los ojos del mismo color. Para ello vamos a
usar el principio de inducción para probar que la afirmación siguiente:
P.n/ = En todo grupo de n niñas todas las niñas del grupo tienen igual color
de ojos
es cierta para todo n2N.
A) En un conjunto formado por una única niña, es evidente que todas las niñas de dicho
conjunto tienen el mismo color de ojos. Por tanto P.n/ es cierta para n D 1
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Ejercicios propuestos 23
B) Supongamos que P.n/ es cierta, es decir que para todo conjunto formado por n niñas
se verifica que todas las niñas del conjunto tienen el mismo color de ojos.
Consideremos ahora un conjunto formado por n C 1 niñas. Quitamos una niña del conjunto
y nos queda un conjunto formado por n niñas, las cuales, por la hipótesis de inducción,
tienen el mismo color de ojos. Ahora devolvemos al conjunto la niña que habíamos
sacado y sacamos otra. Volvemos a razonar como antes y deducimos que la niña que habíamos
sacado también tiene el mismo color de ojos que las demás n niñas del conjunto.
Por tanto las n C 1 niñas tienen todas ellas igual color de ojos. Como hay una niña con
ojos azules, deducimos que todas las niñas tienen ojos azules.
¿Dónde está el error en este razonamiento?
26. En un circuito circular hay n coches iguales. Entre todos ellos tienen justamente la gasolina
que necesita un coche para recorrer una vez el circuito completo. Prueba que alguno
de los n coches puede recorrer el circuito completo.
Sugerencia. Razona por inducción. Observa que no sabemos en qué lugar del circuito
están situados los coches.
27. Prueba que para todo número natural n > 1 se verifican las desigualdades siguientes.
1 3 5 .2n
1/ < n
n
I n! <

n C 1
2
n
Sugerencia: Usa la desigualdad de las medias.
28. Dados n números positivos a1; a2; : : : ; an prueba las siguientes desigualdades.
i)
a1
a2
C
a2
a3
C C
an1
an
C
an
a1
> n;
ii)
n
1=a1 C 1=a2 C C 1=an
6
pn
a1a2 an;
iii) .a1 C a2 C C an/

1
a1
C
1
a2
C C
1
an

> n
2
.
¿Cuándo las desigualdades anteriores son igualdades?
Sugerencia: Usa la desigualdad de las medias.
29. Sean a, b números positivos distintos y n2N. Utiliza la desigualdad de las medias para
probar que:
abn <

a C nb
n C 1
nC1
:
Deduce que para todo número natural n se verifica que:

1 C
1
n
n
<

1 C
1
n C 1
nC1
; y

1 C
1
n C 1
nC2
<

1 C
1
n
nC1
Los siguientes ejercicios pueden hacerse usando la desigualdad de las medias o bien el
corolario (1.13).
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Ejercicios resueltos 24
30. Prueba que el cuadrado es el rectángulo de máxima área para un perímetro dado y de
mínimo perímetro para un área dada.
31. Prueba que el cubo es el ortoedro de máximo volumen para una superficie lateral dada y
de mínima superficie lateral para un volumen dado.
32. Prueba que el triángulo equilátero es el triángulo que tiene máxima área para un perímetro
dado y de mínimo perímetro para un área dada.
Sugerencia. Si a; b; c son las longitudes de los lados y p D .a C b C c/=2 es el semiperímetro,
entonces, según la fórmula de Heron de Alejandría, el área, A, viene dada por
A D
p
p.p
a/.p
b/.p
c/.
33. Calcula el rectángulo de mayor área inscrito en la elipse de ecuación x
2
a
2
C
y
2
b
2
D 1,
donde a > 0; b > 0.
34. Calcula el ortoedro de mayor volumen inscrito en el elipsoide de ecuación
x
2
a
2
C
y
2
b
2
C
z
2
c
2
D 1
donde a > 0; b > 0; c > 0.
35. Calcula la distancia mínima del origen a la superficie en R3 de ecuación xyz D 27.
En otras palabras, si E D f.x; y; z/ 2 R3
W xyz D 27g, lo que se pide es calcular el
mínimo del conjunto de números reales C D fp
x
2 C y
2 C z
2 W .x; y; z/ 2 Eg.
1.3.2. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 11 Sean a, b números positivos distintos y n 2 N. Utiliza la desigualdad
de las medias para probar que:
abn <

a C nb
n C 1
nC1
(1.11)
Deduce que para todo número natural n se verifica que:

1 C
1
n
n
<

1 C
1
n C 1
nC1
; y

1 C
1
n C 1
nC2
<

1 C
1
n
nC1
(1.12)
Solución. La desigualdad (1.11) se deduce de la desigualdad de las medias
nCp1 a1a2 ananC1 6
a1 C a2 C C an C anC1
n C 1
haciendo a1 D a2 D D an D b, anC1 D a y elevando a la potencia n C 1.
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Ejercicios resueltos 25
Haciendo ahora a D 1 y b D 1 C
1
n
en (1.11) se obtiene la primera desigualdad de
(1.12). Finalmente, sustituyendo en (1.11) n por n C 1 a D 1 y b D 1
1
n
, se obtiene la
segunda desigualdad de (1.12). ©
Ejercicio resuelto 12 Prueba que el cubo es el ortoedro de máximo volumen para una super-
ficie lateral dada y de mínima superficie lateral para un volumen dado.
Solución. El volumen de un ortoedro cuyas aristas tienen longitudes a; b; c viene dado
por V D abc y su superficie lateral por S D 2.ab C bc C ca/. Puesto que
p3
.ab/.bc/.ca/ 6
ab C bc C ca
3
.1/
o, lo que es igual, p3
V 2 6 S=6, deducimos que para un volumen dado, V , la superficie
lateral S es mínima cuando tengamos que S=6 D
p3
V 2, es decir que en .1/ se de la
igualdad lo que ocurre si, y sólo si, a D b D c (el ortoedro es un cubo).
Análogamente, para un valor dado de la superficie lateral, S, tendremos que V es máximo
cuando p3
V 2 D S=6, lo que, según acabamos de ver, sólo ocurre cuando el ortoedro
es un cubo. ©
Ejercicio resuelto 13 Calcula el rectángulo de mayor área inscrito en la elipse de ecuación
x
2
a
2
C
y
2
b
2
D 1, donde a > 0; b > 0.
Solución. Sean .˛; ˇ/ las coordenadas del vértice del rectángulo situado en el cuadrante
positivo del plano (˛ > 0; ˇ > 0). El área del rectángulo es igual a 4˛ˇ. El problema,
pues, consiste en hallar el máximo del producto ˛ˇ cuando ˛ y ˇ verifican que
˛
2
a
2
C
ˇ
2
b
2
D 1 .1/
Supuesto que ˛ y ˇ satisfacen .1/, en virtud de la desigualdad de las medias, tenemos
que
˛ ˇ D
q
˛
2ˇ2 D abs
˛
2
a
2
ˇ2
b
2
6
ab
2
.2/
La igualdad en .2/ se da si, y sólo si,
˛
2
a
2
D
ˇ
2
b
2
, lo que junto con .1/ equivale a que
˛
2
a
2
D
ˇ
2
b
2
D
1
2
, es decir, ˛ D
a
p
2
; ˇ D
b
p
2
. Por tanto el máximo valor del área de un
rectángulo inscrito en la elipse es 2ab. ©
Ejercicio resuelto 14 Calcula la distancia mínima del origen a la superficie en R3 de ecuación
xyz D 27. En otras palabras, si E D f.x; y; z/ 2 R3
W xyz D 27g, lo que se
pide es calcular el mínimo del conjunto de números reales C D
˚p
x
2 C y
2 C z
2 W
.x; y; z/ 2 E

.
Solución. Para todo .x; y; z/2E se verifica que
x
2 C y
2 C z
2 > 3
3
q
.xyz/
2 D 3
3
q
.27/
2 D 27
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Complementos 26
Puesto que .3; 3; 3/2E y
p
3
2 C 3
2 C 3
2 D
p
27, deducimos que mKın.C/ D
p
27